本日のお題

微分演算子とは \(\displaystyle D = \frac{d}{dx}\) であり,その逆演算子 \(\displaystyle \frac{1}{D}\) が積分であることを理解し,さらに,逆演算子 \(\displaystyle \frac{1}{D - \alpha}\) の意味を理解します。

線形非斉次微分方程式 \[y'' + ay' + by = f(x) \tag{11.1}\] の特殊解を見つけるための手段として,本時から 微分演算子 を扱います。

微分演算子

微分演算子とは \(\displaystyle \frac{d}{dx}\) のことです。ただし,微分演算子というときには,通常 \(\displaystyle \frac{d}{dx}\) の代わりに \(D\) という記号を使って \[D[y] = \frac{dy}{dx} \ ,\quad D[x^2] = 2x\ ,\quad D[\sin x] = \cos x\] のような表し方をします。

微分の線形性から \[D[k_1 f(x) + k_2 g(x) = k_1 D[f(x)] + k_2 D[g(x)]\] が成り立ちますし,\(\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}\)\(D\big[[D[y]\big] = D^2[y]\) と書き表します。また,微分方程式 \((11.1)\)\[(D^2 + aD + b)[y] = f(x)\] と書くことができます。

逆微分演算子

微分演算子 \(D\) は,\(\displaystyle \frac{d}{dx}\) から敢えて書き換えることで何か良いことがあるのでしょうか? 実のところ,これだけでは微分演算子の有り難味が私には分かりません。ところが,逆演算子を考えることで,とても便利なツールになってきます。微分の逆演算? 積分じゃないの? そのとおり,積分です。

\(\displaystyle D[F(x)] = f(x)\) が成り立つとき, \(\displaystyle F(x) = \frac{1}{D}[f(x)]\) と書いて,\(\displaystyle \frac{1}{D}\)逆微分演算子 と呼びます。もちろん \[\frac{1}{D}[f(x)] = \int f(x)\,dx\] のことです。

ここからは,逆演算子を効果的に使っていくために,成り立つ式を見つけていきます。線形2階非斉次微分方程式の特殊解を探すことが目的ですから,その目的に沿って幾つかの式を公式化していきたいと思います。

最初に考える逆演算子は \(\displaystyle \frac{1}{D - \alpha}\) \(\cdots\) これが何を意味するか?\(\cdots\)です。 \[y = \frac{1}{D - \alpha} \left[f(x)\right]\] とすると,\(\displaystyle \frac{1}{D - \alpha}\) は微分演算子 \(D - \alpha\) の逆演算を行いますから \[\begin{eqnarray*} (D - \alpha)[y] &=& f(x) \\[4px] y' - \alpha y &=& f(x) \end{eqnarray*}\] が成り立ちます。そこで,この式の両辺に積分因子 \(e^{-\alpha x}\) をかけて変形すると,次のようになります。 \[\begin{eqnarray*} & e^{-\alpha x}y' - \alpha e^{-\alpha x}y = e^{-\alpha x}f(x) & \\[4px] & \left(e^{-\alpha x}y\right)' = e^{\alpha x}f(x) & \\[4px] & ∴\quad e^{-\alpha x}y = \int e^{-\alpha x} f(x)\,dx & \\[4px] & ∴\quad y = e^{\alpha x} \int e^{-\alpha x} f(x)\,dx & \end{eqnarray*}\]

\[\frac{1}{D -\alpha}[f(x)] = e^{\alpha x}\int e^{-\alpha x} f(x) \,dx \tag{11.2}\]

\((11.2)\) において \(f(x) = e^{\beta x}\) としましょう。

\(\alpha \ne \beta\) のとき \[\begin{eqnarray*} \frac{1}{D -\alpha}[e^{\beta x}] &=& e^{\alpha x}\int e^{-\alpha x} e^{\beta x}\,dx \\[4px] &=& e^{\alpha x} \int e^{(\beta - \alpha)x}\,dx \\[4px] &=& e^{\alpha x} \cdot \frac{1}{\beta - \alpha} \cdot e^{(\beta - \alpha)x} \\ &=& \frac{1}{\beta - \alpha}\,e^{\beta x} \end{eqnarray*}\] \(\alpha = \beta\) のとき \[\begin{eqnarray*} \frac{1}{D - \alpha}[e^{\alpha x}] &=& e^{\alpha x} \int e^{-\alpha x} \cdot e^{\alpha x}\,dx \\[4px] &=& e^{\alpha x} \int dx \\[4px] &=& x e^{\alpha x} \end{eqnarray*}\] ※ 逆微分演算子の計算には,通常,積分定数をつけません。

\[\frac{1}{D - \alpha}[e^{\beta x}] = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle \frac{1}{\beta - \alpha}\,e^{\beta x} & (\alpha \ne \beta) \\[4px] \displaystyle xe^{\alpha x} & (\alpha = \beta) \end{array}\right. \tag{11.3}\]

実際にどのように使うのか?

逆微分演算子に係る重要な式 \((11.2)\)\((11.3)\) を導き出しました。しかし,これがどのように役立つのでしょうか? 先に,確認すべきことを飛ばして使用例を見ていただこうと思います。 \[y'' - 5y' + 6y = e^{2x}\] この微分方程式は「第9回 未定係数法」例題9-3 で解いたものです。特殊解が \(-xe^{2x}\),一般解は \[y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} - xe^{2x}\] となりました。この方程式の特殊解を微分演算子,逆演算子を用いて求めます。 \[\begin{eqnarray*} && (D^2 - 5D + 6)[y] = e^{2x} \\[4px] && (D - 2)(D - 3)[y] = e^{2x} \\[4px] ∴\quad && y \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{(D - 2)(D - 3)}\,\left[e^{2x}\right] \\[4px] \displaystyle = \left(\frac{1}{D - 3} - \frac{1}{D - 2}\right)\left[e^{2x}\right] \\[4px] \displaystyle = \frac{1}{D - 3}\left[e^{2x}\right] - \frac{1}{D - 2}\left[e^{2x}\right] \\[4px] \displaystyle = \frac{1}{2 - 3}e^{2x} - xe^{2x} \\[4px] \displaystyle = -e^{2x} - xe^{2x} \end{array} \end{eqnarray*}\] いかがですか? 特殊解を,その形が分かっていなくても,比較的容易な計算で求めることができました。微分演算子は,線形2階非斉次微分方程式の特殊解を求めるための優秀な手段である・・・と個人的には考えています。

ところが,ちょっと待ってください。 \[D^2 - 5D + 6 = (D - 2)(D - 3)\] と因数分解していますが,整式の計算として正しいとしても,微分演算子でこのような式変形が成り立つのでしょうか? 部分分数分解 \[\frac{1}{(D - 2)(D - 3)} = \frac{1}{D - 3} - \frac{1}{D - 2}\] は逆微分演算子の式変形として正しいのでしょうか? 大いに疑問です。

私は,まぁ世の中で成り立つと考えられているものは証明しなくてもイイんじゃない?派の人間ですが,流石にこれは,自分でやっていて気持ち悪さを感じます。証明とは言わないまでも,自分が納得して使いたいなぁと考えます。

ただし,微分演算子の1回目でありますし,今日のところはここまでとします。次回,微分演算子・逆演算子の式も因数分解や部分分数分解が可能であることを示します。

最終更新日時: 2021年 08月 2日(月曜日) 17:08