逆演算子のマクローリン展開
本日のお題
逆演算子 \(\displaystyle \frac{1}{1 - D}\) について，マクローリン展開 \[\frac{1}{1 - D} = 1 + D + D^2 + D^3 + \cdots\] の成り立つことを理解し，この式を用いて \[y'' + ay' + b = x^n e^{\alpha x}\] の形の線形２階非斉次微分方程式を解けるようになります。
逆演算子のマクローリン展開 \[\frac{1}{1 - D} = 1 + D + D^2 + D^3 + \cdots \tag{15.1}\] を保留にしていましたが，ごめんなさい m(_ _)m 考え違いをしていました。私たちは，任意の逆演算子と任意の関数についてマクローリン展開が成り立つことを示す必要はありませんでした。― 収束半径の問題がありますから，成り立つかどうかが怪しいところです f^^; ― 整関数 \(f(x)\) について \[\frac{1}{1 - D}[f(x)] = \left(\sum_{k = 0}^{n + 1}D^{k}\right)[f(x)]\] の成り立つことを示しさえすれば \[\frac{1}{D - \alpha}[x],\quad \frac{1}{D - \alpha}[x^2],\quad \cdots\] などを求めることが可能になります。\(\displaystyle \frac{1}{1 - D}\) と整関数に限れば，それを示すことは決して難しくありません。確認しましょう。
逆演算子のマクローリン展開
\(f(x)\) を \(n\) 次の整関数として \[y = \frac{1}{1 - D}[f(x)]\] が成り立っているとします。 \[ (D - 1)[y] = -f(x) \\[2px] y' - y = -f(x) \\[2px] e^{-x}y' - e^{-x}y = -e^{-x}f(x) \\[2px] (e^{-x}y)' = -e^{-x}f(x) \\[2px] ∴\quad e^{-x}y \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int(e^{-x})'f(x)\,dx \\ \displaystyle = e^{-x}f(x) - \int e^{-x}f'(x)\,dx \\ \displaystyle = e^{-x}f(x) + \int (e^{-x})'f'(x)\,dx \\ \displaystyle = e^{-x}f(x) + e^{-x}f'(x) - \int e^{-x}f''(x)\,dx \\ \displaystyle = e^{-x}f(x) + e^{-x}f'(x) + \int (e^{-x})'f''(x)\,dx \\ \displaystyle = e^{-x}f(x) + e^{-x}f'(x) + e^{-x}f''(x) - \int (e^{-x})'f^{(3)}(x)\,dx \\ \end{array} \] このように部分積分を繰り返していくと，\(k > n + 1\) について \(f^{(k)} = 0\) ですから \[\begin{eqnarray*} e^{-x}y &=& e^{-x}\left\{f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots + f^{(n)}(x)\right\} \\[2px] ∴\quad y &=& f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots + f^{(n)}(x) \\[2px] &=& (1 + D + D^2 + \cdots + D^n)[f(x)] \end{eqnarray*}\] 以上から，\((15.1)\) の成り立つことが示されました。
どのように使うか？
例題15－１ \(y'' - 5y' + 6y = x^2 e^x\)
解 答
特性方程式 \(\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0\) を解くと，特性解は \(\lambda = 1,\ 2\) です。したがって，基本解は \(e^{2x}\) と \(e^{3x}\) です。さらに，逆演算子を用いて特殊解を求めましょう。 \[\begin{eqnarray*} y &=& \frac{1}{D^2 - 5D + 6}[x^2 e^x] \\[2px] &=& e^x \frac{1}{(D + 1)^2 - 5(D + 1) + 6}[x^2] \\[2px] &=& e^x \frac{1}{D^2 - 3D + 2}[x^2] \\[2px] &=& e^x \frac{1}{(D - 2)(D - 1)}[x^2] \\[2px] &=& e^x \left(\frac{1}{D - 2} - \frac{1}{D - 1}\right)[x^2] \\[2px] &=& e^x \left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1 - \displaystyle \frac{D}{2}} + \frac{1}{1 - D}\right)[x^2] \\[2px] &=& e^x \left\{-\frac{1}{2}\left(x^2 + \frac{2x}{2} + \frac{2}{2^2}\right) + \left(x^2 + 2x + 2\right)\right\} \\[2px] &=& \frac{(2x^2 + 6x + 7)e^x}{4} \end{eqnarray*}\] 以上から，求める一般解は \[y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \frac{(2x^2 + 6x + 7)e^x}{4}\] です。
さぁ，これで必要最低限のツールが揃ったと思います。次回は，線形２階非斉次微分方程式の演習を行います。