線形2階非斉次微分方程式の演習
本日のお題
線形2階非斉次微分方程式の演習を通して,これまで学んだ事項を確認するとともに,それらを用いて線形2階の基本的な微分方程式を解けるようになります。
課題16-1 \(\displaystyle y'' - 3y' - 4y = 4x^2 - 2x\)
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0\) を解いて \(\lambda = 4,-1\) を得るので,基本解は \(e^{4x}\) と \(e^{-x}\) です。特殊解を \(y = ax^2 + bx + c\) とおいて与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && 2a - 3(2ax + b) - 4(ax^2 + bx + c) = 4x^2 - 2x \\[2px] && -4ax^2 + (-6a - 4b)x + (2a - 3b - 4c) = 4x^2 - 2x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[\left\{\begin{array}{l} -4a = 4 \\ -6a - 4b = -2 \\ 2a - 3b - 4c = 0 \end{array}\right.\quad ∴\quad\left\{\begin{array}{l} a = -1 \\ b = 2 \\ c = -2 \end{array}\right.\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} - x^2 + 2x - 2\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0\) を解いて \(\lambda = 4,-1\) を得るので,基本解は \(e^{4x}\) と \(e^{-x}\) です。特殊解を \(y = A(x)e^{4x} + B(x)e^{-x}\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& e^{4x}\cdot(e^{-x})' - (e^{4x})'\cdot e^{-x}\\[2px] &=&
e^{4x}\cdot(-e^{-x}) - 4e^{4x}\cdot e^{-x}\\[2px] &=& -5e^{3x}\\[6px] A'(x) &=& -\frac{(4x^2 - 2x)e^{-x}}{-5e^{3x}} = \frac{4x^2 - 2x}{5}e^{-4x} \\[2px] B'(x) &=& \frac{(4x^2 - 2x)e^{4x}}{-5e^{3x}} = -\frac{4x^2 - 2x}{5}e^{x}
\\[6px] A(x) &=& \int \frac{4x^2 - 2x}{5}e^{-4x}\,dx \\[2px] &=& -\frac{1}{10}\int (2x^2 - x)(e^{-4x})'\,dx \\[2px] &=& -\frac{1}{10}\left((2x^2 - x)e^{-4x} - \int(4x - 1)e^{-4x}\,dx\right) \\[2px] &=& -\frac{1}{10}\Bigg((2x^2
- x)e^{-4x} \\ && \hspace{3em} + \frac{1}{4}\int(4x - 1)(e^{-4x})'\,dx \Bigg) \\[2px] &=& -\frac{1}{10}\Bigg\{(2x^2 - x)e^{-4x} \\ && \hspace{3em} + \frac{1}{4}\left((4x - 1)e^{-4x} - \int 4e^{-4x}\,dx\right)\Bigg\}
\\[2px] &=& -\frac{1}{5}x^2e^{-4x} \\[2px] B(x) &=& -\int\frac{4x^2 - 2x}{5}e^x\,dx \\[2px] &=& -\frac{2}{5}\left((2x^2 -1)e^x - \int(4x - 1)e^x\,dx\right) \\[2px] &=& -\frac{2}{5}\Bigg\{(2x^2 - 1)e^x \\ &&
\hspace{3em} - \left((4x - 1)e^x - \int 4e^x\,dx\right)\Bigg\} \\[2px] &=& -\frac{2}{5}\left(2x^2 - 5x + 5\right)e^x \end{eqnarray*}\]
したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} - x^2 + 2x - 2\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0\) を解いて \(\lambda = 4,-1\) を得るので,基本解は \(e^{4x}\) と \(e^{-x}\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 - 3D - 4}[4x^2 - 2x] \\[2px] &=& \frac{1}{(D - 4)(D + 1)}[4x^2 - 2x] \\[2px] &=& \frac{1}{5}\left(\frac{1}{D - 4}- \frac{1}{D + 1}\right)[4x^2 - 2x] \\[2px] &=& -\frac{1}{5}\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1 - \frac{D}{4}} + \frac{1}{1 + D}\right)[4x^2 - 2x] \\[2px] &=& -\frac{1}{5}\Bigg\{\frac{1}{4}\left(4x^2 - 2x + 2x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \\ && \hspace{6em} + \left(4x^2 - 2x - 8x + 2 + 8\right)\Bigg\} \\[2px] &=& -\frac{1}{5}(5x^2 - 10x + 10) \\[2px] &=& -x^2 + 2x - 2 \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} - x^2 + 2x - 2\]
課題16-2 \(\displaystyle y'' - y' = 2x\)
\(y\) の項がないので,\(y'\) についての線形1階微分方程式と見れば積分因子を使うことができます。 \[\begin{eqnarray*} && e^{-x}y'' - e^{-x}y' = 2x e^{-x} \\[2px] && (e^{-x}y')' = 2x e^{-x} \\[2px] && e^{-x}y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = -2\int x(e^{-x})'\,dx \\ \displaystyle = -2\left(xe^{-x} - \int e^{-x}\,dx\right) \\ \displaystyle = -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C_1 \end{array} \\[2px] && y' = -2x -2 + C_1 e^x \\[2px] && y = C_1 e^{x} - x^2 - 2x + C_2 \end{eqnarray*}\]
特性方程式 \(\lambda^2 - \lambda = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 0\) を得るので,基本解は \(e^{x}\) と \(1\) です。特殊解を \(y = ax^2 + bx + c\) とおいて与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && 2a - (2ax + b) = 2x \\[2px] && -2ax + (2a - b) = 2x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[\left\{\begin{array}{l} -2a = 2 \\ 2a - b = 0 \end{array}\right.\quad ∴\quad\left\{\begin{array}{l} a = -1 \\ b = -2 \end{array}\right.\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{x} + C_2 - x^2 - 2x\]
特性方程式 \(\lambda^2 - \lambda = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 0\) を得るので,基本解は \(e^{x}\) と \(1\) です。特殊解を \(y = A(x)e^{x} + B(x)\) とします。 \[\mbox{W}(e^{x},\ 1) = -e^x\] \[\begin{array}[t]{l} \displaystyle A'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = -\frac{2x}{-e^x} \\ \displaystyle = 2xe^{-x} \end{array} \\[2px] \displaystyle A(x) = -2(x + 1)e^{-x} \end{array}\quad \begin{array}[t]{l} \displaystyle B'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{2xe^x}{-e^x} \\ = -2x \end{array} \\[2px] \displaystyle B(x) = -x^2 \end{array}\] したがって,求める一般解は \[\begin{eqnarray*} y &=& C_1 e^{x} + C_2 - 2x + 2 - x^2 \\[2px] &=& C_1 e^{x} + C_2 - x^2 - 2x \end{eqnarray*}\]
特性方程式 \(\lambda^2 - \lambda = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 0\) を得るので,基本解は \(e^x\) と \(1\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 - D}[2x] \\[2px] &=& \frac{1}{D(D - 1)}[2x] \\[2px] &=& \left(\frac{1}{D - 1}- \frac{1}{D}\right)[2x] \\[2px] &=& -\left(\frac{1}{1 - D} + \frac{1}{D}\right)[2x] \\[2px] &=& -(2x + 2) - x^2 \\[2px] &=& -x^2 - 2x - 2 \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[\begin{eqnarray*} y &=& C_1 e^x + C_2 - x^2 - 2x - 2 \\[2px] &=& C_1 e^x + C_2 - x^2 - 2x \end{eqnarray*}\]
課題16-3 \(\displaystyle y'' - 3y' + 2y = 4x^2e^{-x}\)
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 2\) を得るので,基本解は \(e^x\) と \(e^{2x}\) です。特殊解を \(y = (ax^2 + bx + c)e^{-x}\) とおいて与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && ax^2 + (-4a + b)x + 2a - 2b + c \\ && \hspace{4em} + 3ax^2 + (-6a + 3b)x - 3b + 3c \\ && \hspace{8em} + 2ax^2 + 2bx + 2c = 4x^2\\[2px] && 6ax^2 + (-10a + 6b)x + (2a - 5b + 6c) = 4x^2 \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[\left\{\begin{array}{l} 6a = 4 \\ -10a + 6b = 0 \\ 2a - 5b + 6c = 0 \end{array}\right.\quad ∴\quad\left\{\begin{array}{l} \displaystyle a = \frac{2}{3} \\ \displaystyle b = \frac{10}{9} \\ \displaystyle c = \frac{19}{27} \end{array}\right.\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \left(\frac{2}{3}x^2 + \frac{10}{9}x + \frac{19}{27}\right)e^{-x}\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 2\) を得るので,基本解は \(e^{x}\) と \(e^{2x}\) です。特殊解を \(y = A(x)e^{x} + B(x)e^{2x}\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& e^{x}\cdot(e^{2x})' - (e^{x})'\cdot e^{2x}\\[2px] &=& e^{x}\cdot 2e^{2x} - e^{x}\cdot e^{2x}\\[2px] &=& e^{3x} \\[6px] A'(x) &=& -\frac{4x^2 e^{x}}{e^{3x}} = -4x^2 e^{-2x} \\[2px] B'(x) &=& \frac{4x^2}{e^{3x}} = 4x^2 e^{-3x} \\[6px] A(x) &=& -4\int x^2 e^{-2x}\,dx \\[2px] &=& 2\int x^2 (e^{-2x})'\,dx \\[2px] &=& 2\left(x^2 e^{-2x} - 2\int x e^{-2x}\,dx\right) \\[2px] &=& 2\left\{x^2 e^{-2x} + \left(x e^{-2x} - \int e^{-2x}\,dx\right)\right\} \\[2px] &=& (2x^2 + 2x + 1)e^{-2x} \\[2px] B(x) &=& 4\int x^2 e^{-3x}\,dx \\[2px] &=& -\frac{4}{3}\left(x^2 e^{-3x} - 2\int x e^{-3x}\,dx\right) \\[2px] &=& -\frac{4}{3}\left\{x^2 e^{-3x} + \frac{2}{3}\left(x e^{-3x} - \int e^{-3x}\,dx\right)\right\} \\[2px] &=& -\left(\frac{4}{3}x^2 + \frac{8}{9}x + \frac{8}{27}\right)e^{-3x} \\[6px] ∴\quad y &=& (2x^2 + 2x + 1)e^{-2x}\cdot e^x \\ && \hspace{4em} - \left(\frac{4}{3}x^2 + \frac{8}{9}x + \frac{8}{27}\right)e^{-3x}\cdot e^{2x} \\[2px] &=& \left(\frac{2}{3}x^2 + \frac{10}{9}x + \frac{19}{27}\right)e^{-x} \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \left(\frac{2}{3}x^2 + \frac{10}{9}x + \frac{19}{27}\right)e^{-x}\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 2\) を得るので,基本解は \(e^{x}\) と \(e^{2x}\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 - 3D + 2}[4x^2 e^{-x}] \\[2px] &=& e^{-x}\cdot\frac{1}{(D - 1)^2 - 3(D - 1) + 2}[4x^2] \\[2px] &=& e^{-x}\cdot\frac{1}{(D - 3)(D -2)}[4x^2] \\[2px] &=& e^{-x}\left(\frac{1}{D - 3} - \frac{1}{D - 2}\right)[4x^2] \\[2px] &=& e^{-x}\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1 - \frac{D}{3}} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 - \frac{D}{2}}\right)[4x^2] \\[2px] &=& e^{-x}\Bigg\{-\frac{1}{3}\left(4x^2 + \frac{8}{3}x^2 + \frac{8}{9}\right) \\ && \hspace{8em} + \frac{1}{2}\left(4x^2 + 4x + 2\right)\Bigg\} \\[2px] &=& \left(\frac{2}{3}x^2 + \frac{10}{9}x + \frac{19}{27}\right)e^{-x} \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \left(\frac{2}{3}x^2 + \frac{10}{9}x + \frac{19}{27}\right)e^{-x}\]
課題16-4 \(\displaystyle y'' - 3y' + 2y = xe^{x}\)
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 2\) を得るので,基本解は \(e^x\) と \(e^{2x}\) です。特殊解を \(y = (ax^2 + bx)e^x\) とおいて,与式に代入します。
特殊解を \(y = (ax^2 + bx + c)e^x\) ではなく \(y = (ax^2 + bx)e^x\) とした理由は,\(c e^x\) が斉次微分方程式の一般解に含まれるからです。 \[\begin{eqnarray*} && y = (ax^2 + bx)e^x \\[2px] && y' \begin{array}[t]{l} = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx)e^x \\ = \{ax^2 + (2a + b)x + b\}e^x \end{array} \\[2px] && y'' \begin{array}[t]{l} = (2ax + 2a + b)e^x + \{ax^2 + (2a + b)x + b\}e^x \\ = \{ax^2 + (4a + b)x + 2a + 2b\}e^{x} \end{array} \\[6px] ∴\quad &&\{ax^2 + (4a + b)x + 2a + 2b\}e^{x} \\ && \hspace{5em} - 3\{ax^2 + (2a + b)x + b\}e^x \\ && \hspace{8em} + 2(ax^2 + bx)e^x = x e^x \\[2px] ∴\quad && (-2ax + 2a - b)e^x = x e^x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[-2a = 1\ ,\quad 2a - b = 1\] となるので,これを解いて \[a = -\frac{1}{2}\ ,\quad b = -1\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - \left(\frac{1}{2}x^2 + x\right)e^x\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 2\) を得るので,基本解は \(e^x\) と \(e^{2x}\) です。特殊解を \(y = A(x)e^x + B(x)e^{2x}\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& e^{3x} \\[6px] A'(x) &=& -\frac{x e^x \cdot e^{2x}}{e^{3x}} = -x \\[2px] B'(x) &=& \frac{x e^x \cdot e^x}{e^{3x}} = x e^{-x} \\[6px] A(x) &=& \int(-x)\,dx = -\frac{1}{2}x^2 \\[2px] B(x) &=& \int x e^{-x} \,dx \\[2px] &=& -\left(x e^{-x} - \int e^{-x} \,dx\right) \\[2px] &=& -(x + 1) e^{-x} \\[6px] ∴\quad y &=& -\frac{1}{2}x^2 \cdot e^x - (x + 1)e^{-x} \cdot e^{2x} \\[2px] &=& -\left(\frac{1}{2}x^2 + x + 1\right)e^x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[\begin{eqnarray*} y &=& C_1 e^x + C_2 e^{2x} -\left(\frac{1}{2}x^2 + x + 1\right)e^x \\[2px] &=& C_1 e^x + C_2 e^{2x} -\left(\frac{1}{2}x^2 + x\right)e^x \end{eqnarray*}\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1,\ 2\) を得るので,基本解は \(e^x\) と \(e^{2x}\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 - 3D + 2}[xe^x] \\[2px] &=& e^x \cdot \frac{1}{(D + 1)^2 - 3(D + 1) + 2}[x] \\[2px] &=& e^x \frac{1}{D(D - 1)}[x] \\[2px] &=& e^x \left(\frac{1}{D - 1} - \frac{1}{D}\right)[x] \\[2px] &=& e^x \left\{-(x + 1) - \frac{1}{2}x^2\right\} \\[2px] &=& -\left(\frac{1}{2}x^2 + x + 1\right)e^x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[\begin{eqnarray*} y &=& C_1 e^x + C_2 e^{2x} -\left(\frac{1}{2}x^2 + x + 1\right)e^x \\[2px] &=& C_1 e^x + C_2 e^{2x} -\left(\frac{1}{2}x^2 + x\right)e^x \end{eqnarray*}\]
課題16-5 \(\displaystyle y'' - 2y' + y = e^x\)
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = 1\)(重解)を得るので,基本解は \(e^x\) と \(x e^x\) です。特殊解を \(y = ax^2 e^x\) とおいて,与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && y = ax^2 e^x \\[2px] && y' = (ax^2 + 2ax)e^x \\[2px] && y'' = (ax^2 + 4ax + 2a)e^x \\[6px] ∴\quad && \{(ax^2 + 4ax + 2a) - 2(ax^2 + 2ax) + ax^2\}e^x = e^x \\[2px] ∴\quad && 2a e^x = e^x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \(\displaystyle a = \frac{1}{2}\) となるので,求める一般解は \[y = C_1 e^x + C_2 x e^x + \frac{1}{2}x^2 e^x\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = 1\)(重解)を得るので,基本解は \(e^x\) と \(x e^x\) です。特殊解を \(y = A(x) e^x + B(x) x e^x\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& e^x \cdot (x e^x)' - (e^x)' \cdot x e^x = e^{2x} \\[6px] A'(x) &=& -\frac{x e^x \cdot e^x}{e^{2x}} = -x \\[2px] B'(x) &=& \frac{e^x \cdot e^x}{e^{2x}} = 1 \\[6px] A(x) &=& \int(-x)\,dx = -\frac{1}{2}x^2 \\[2px] B(x) &=& \int dx = x \\[6px] ∴\quad y &=& -\frac{1}{2}x^2 \cdot e^x + x \cdot x e^x = \frac{1}{2}x^2 e^x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^x + C_2 x e^x + \frac{1}{2}x^2 e^x\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = 1\)(重解)を得るので,基本解は \(e^x\) と \(x e^x\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 - 2D + 1}[e^x] \\[2px] &=& e^x\cdot\frac{1}{D^2}[1] \\[2px] &=& \frac{1}{2}x^2 e^x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^x + C_2 x e^x + \frac{1}{2}x^2 e^x\]
課題16-6 \(\displaystyle y'' - 2y' + y = \frac{2xe^x}{x^2 + 1}\)
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = 1\)(重解)を得るので,基本解は \(e^x\) と \(x e^x\) です。特殊解を \(y = A(x) e^x + B(x) x e^x\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& e^x \cdot (x e^x)' - (e^x)' \cdot x e^x = e^{2x} \\[6px] A'(x) &=& -\frac{2x e^x \cdot x e^x}{(x^2 + 1)e^{2x}} = -\frac{2x^2}{x^2 + 1} \\[2px] B'(x) &=& \frac{2x e^x \cdot e^x}{(x^2 + 1)e^{2x}} = \frac{2x}{x^2 + 1} \\[6px] A(x) &=& -\int\frac{2x^2}{x^2 + 1}\,dx \\[2px] &=& -\int\left(2 - \frac{1}{x^2 + 1}\right)\,dx \\[2px] &=& -2x + 2\tan^{-1}x \\[2px] B(x) &=& \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx \\[2px] &=& \log(x^2 + 1) \\[6px] ∴\quad y &=& \left(-2x + 2\tan^{-1}x\right)\cdot e^x + \log(x^2 + 1)\cdot xe^{x} \\[2px] &=& \left\{-2x + 2\tan^{-1}x + x\log(x^2 + 1)\right\}e^x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[\begin{eqnarray*} y &=& C_1 e^x + C_2 x e^x + \left\{-2x + 2\tan^{-1}x + x\log(x^2 + 1)\right\}e^x \\[2px] &=& C_1 e^x + C_2 x e^x + \left\{2\tan^{-1}x + x\log(x^2 + 1)\right\}e^x \end{eqnarray*}\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = 1\)(重解)を得るので,基本解は \(e^x\) と \(x e^x\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 - 2D + 1}\left[\frac{2x e^x}{x^2 + 1}\right] \\[2px] &=& e^x \cdot \frac{1}{D^2}\left[\frac{2x}{x^2 + 1}\right] \\[2px] &=& e^x \cdot \frac{1}{D}\left[\log(x^2 + 1)\right] \\[2px] &=& e^x \int (x)' \log(x^2 + 1)\,dx \\[2px] &=& e^x \left(x\log(x^2 + 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 1}\,dx\right) \\[2px] &=& e^x \left\{x\log(x^2 + 1) - \int\left(2 - \frac{2}{x^2 + 1}\right)dx\right\} \\[2px] &=& e^x \left(x\log(x^2 + 1) - 2x + 2\tan^{-1}x\right) \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[\begin{eqnarray*} y &=& C_1 e^x + C_2 x e^x + \left\{x\log(x^2 + 1) - 2x + 2\tan^{-1}x\right\}e^x \\[2px] &=& C_1 e^x + C_2 x e^x + \left\{x\log(x^2 + 1) + 2\tan^{-1}x\right\}e^x \end{eqnarray*}\]
課題16-7 \(\displaystyle y'' + y' - 12y = \sin 2x\)
特性方程式 \(\lambda^2 + \lambda - 12 = 0\) を解いて \(\lambda = -4,\ 3\) を得るので,基本解は \(e^{-3x}\) と \(x e^{4x}\) です。特殊解を \(y = a\sin 2x + b\cos 2x\) とおいて,与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && y = a\sin 2x + b\cos 2x \\[2px] && y' = -2b\sin 2x + 2a\cos 2x \\[2px] && y'' = -4a\sin 2x - 4b\cos 2x \\[6px] ∴\quad && (-16a - 2b)\sin 2x + (2a - 16b)\cos 2x = \sin 2x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[-16a - 2b = 1\ ,\quad 2a - 16b = 0\] となるので,これを解いて \[a = -\frac{4}{65}\ ,\quad b = -\frac{1}{130}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{4x} - \frac{4}{65}\sin 2x - \frac{1}{130}\cos 2x\]
特性方程式 \(\lambda^2 - \lambda - 12 = 0\) を解いて \(\lambda = -3,\ 4\) を得るので,基本解は \(e^{-3x}\) と \(x e^{4x}\) です。特殊解を \(y = A(x)e^{-4x} + B(x)e^{3x}\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& 7e^{-x} \\[6px] A'(x) &=& -\frac{\sin 2x \cdot e^{3x}}{7e^{-x}} = -\frac{1}{7}e^{4x} \sin 2x \\[2px] B'(x) &=& \frac{\sin 2x \cdot e^{-4x}}{7e^{-x}} = \frac{1}{7}e^{-3x} \sin 2x \\[6px] A(x) &=& -\frac{1}{7} \int e^{4x} \sin 2x \,dx \\[2px] &=& -\frac{1}{7} Im\left[\int e^{(4 + 2i)x} \,dx\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{7} Im\left[\frac{1}{4 + 2i}\,e^{(4 + 2i)x}\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{14} Im\left[\frac{2 - i}{5}\,e^{4x}(\cos 2x + i\sin 2x)\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{70}\,e^{4x}(2\sin 2x - \cos 2x) \\[2px] B(x) &=& \frac{1}{7} \int e^{-3x} \sin 2x \,dx \\[2px] &=& \frac{1}{7} Im\left[\int e^{(-3 + 2i)x} \,dx\right] \\[2px] &=& \frac{1}{7} Im\left[\frac{1}{-3 + 2i}\,e^{(-3 + 2i)x}\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{7} Im\left[\frac{3 + 2i}{13}\,e^{-3x}(\cos 2x + i\sin 2x)\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{91}\,e^{-3x}(3\sin 2x + 2\cos 2x) \\[6px] ∴\quad y &=& -\frac{1}{70}\,(2\sin 2x - \cos 2x) \\ && \hspace{4em} - \frac{1}{91}\,(3\sin 2x + 2\cos 2x) \\[2px] &=& -\frac{4}{65}\sin 2x - \frac{1}{130}\cos 2x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{4x} - \frac{4}{65}\sin 2x - \frac{1}{130}\cos 2x\]
特性方程式 \(\lambda^2 - \lambda - 12 = 0\) を解いて \(\lambda = -3,\ 4\) を得るので,基本解は \(e^{-3x}\) と \(x e^{4x}\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 + D - 12}[\sin 2x] \\[2px] &=& Im\left[\frac{1}{D^2 + D - 12}\,[e^{2ix}]\right] \\[2px] &=& Im\left[\frac{1}{-4 + 2i - 12}\cdot e^{2ix}\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{2}Im\left[\frac{1}{8 - i}(\cos 2x + i\sin 2x)\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{2}Im\left[\frac{8 + i}{65}(\cos 2x + i\sin 2x)\right] \\[2px] &=& -\frac{4}{65}\sin 2x - \frac{1}{130}\cos 2x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^{-4x} + C_2 e^{3x} - \frac{4}{65}\sin 2x - \frac{1}{130}\cos 2x\]
課題16-8 \(\displaystyle y'' + y = \cos 2x\)
特性方程式 \(\lambda^2 + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = \pm i\) を得るので,基本解は \(\cos x\) と \(\sin x\) です。特殊解を \(y = a\sin 2x + b\cos 2x\) とおいて,与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && y = a\sin 2x + b\cos 2x \\[2px] && y' = -2b\sin 2x + 2a\cos 2x \\[2px] && y'' = -4a\sin 2x - 4b\cos 2x \\[6px] ∴\quad && -3a\sin 2x - 3b\cos 2x = \cos 2x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[a = 0\ ,\quad b = -\frac{1}{3}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{3}\cos 2x\]
特性方程式 \(\lambda^2 + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = \pm i\) を得るので,基本解は \(\cos x\) と \(\sin x\) です。特殊解を \(y = A(x)\cos x + B(x)\sin x\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& 1 \\[6px] A'(x) &=& -\cos 2x \sin x \\[2px] B'(x) &=& \cos 2x \cos x \\[6px] A(x) &=& -\int \cos 2x \sin x \,dx \\[2px] &=& \int (2\cos^2 x - 1)(\cos x)' \,dx \\[2px] &=& \frac{2}{3}\cos^3 x - \cos x \\[2px] B(x) &=& \int \cos 2x \cos x \,dx \\[2px] &=& \int (1 - 2\sin^2 x)(\sin x)' \,dx \\[2px] &=& \sin x - \frac{2}{3}\sin^2 x \\[6px] ∴\quad y &=& \left(\frac{2}{3}\cos^3 x - \cos x\right)\cdot \cos x \\ && \hspace{4em} + \left(\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x\right)\cdot \sin x \\[2px] &=& \frac{2}{3}\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right) - \left(\cos^2 x - \sin^2 x\right) \\[2px] &=& \frac{2}{3}\cos 2x - \cos 2x \\[2px] &=& -\frac{1}{3}\cos 2x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{3}\cos 2x\]
特性方程式 \(\lambda^2 + 1 = 0\) を解いて \(\lambda = \pm i\) を得るので,基本解は \(\cos x\) と \(\sin x\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 + 1}[\cos 2x] \\[2px] &=& Re\left[\frac{1}{D^2 + 1}\left[e^{2ix}\right]\right] \\[2px] &=& Re\left[\frac{1}{-3}\,e^{2ix}\right] \\[2px] &=& -\frac{1}{3}\cos 2x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{3}\cos 2x\]
課題16-9 \(\displaystyle y'' + 4y = \sin 2x\)
特性方程式 \(\lambda^2 + 4 = 0\) を解いて \(\lambda = \pm 2i\) を得るので,基本解は \(\cos 2x\) と \(\sin 2x\) です。特殊解を \(y = ax\sin 2x + bx\cos 2x\) とおいて,与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && y = ax\sin 2x + bx\cos 2x \\[2px] && y' = (a - 2bx)\sin 2x + (2ax + b)\cos 2x \\[2px] && y'' = -4(ax + b)\sin 2x - 4(4b - a)\cos 2x \\[6px] ∴\quad && -4b\sin 2x + 4a\cos 2x = \sin 2x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[a = 0\ ,\quad b = -\frac{1}{4}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{4}x\cos 2x\]
特性方程式 \(\lambda^2 + 4 = 0\) を解いて \(\lambda = \pm 2i\) を得るので,基本解は \(\cos 2x\) と \(\sin 2x\) です。特殊解を \(y = A(x)\cos 2x + B(x)\sin 2x\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& 2 \\[6px] A'(x) &=& -\frac{\sin 2x \cdot \sin 2x}{2} = \frac{\cos 2x - 1}{4} \\[2px] B'(x) &=& \frac{\sin 2x \cdot \cos 2x}{2} = \frac{\sin 2x}{4} \\[6px] A(x) &=& \frac{1}{8}\sin 2x - \frac{1}{4}x \\[2px] B(x) &=& -\frac{1}{8}\cos 2x \\[6px] ∴\quad y &=& \left(\frac{1}{8}\sin 2x - \frac{1}{4}x\right) \cdot \cos 2x - \frac{1}{8}\cos 2x \cdot \sin 2x \\[2px] &=& -\frac{1}{4}x\cos 2x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{4}x\cos 2x\]
特性方程式 \(\lambda^2 + 4 = 0\) を解いて \(\lambda = \pm 2i\) を得るので,基本解は \(\cos 2x\) と \(\sin 2x\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 + 4}\left[\sin 2x\right] \\[2px] &=& Im\left[\frac{1}{D^2 + 4}\left[e^{2ix}\right]\right] \\[2px] &=& Im\left[\frac{1}{2\cdot 2i}\,xe^{2ix}\right] \\[2px] &=& -\frac{x}{4} \cdot Im\left[i(\cos 2x + i\sin 2x)\right] \\[6px] &=& -\frac{1}{4}x\cos 2x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{4}x\cos 2x\]
課題16-10 \(\displaystyle y'' - 2y' + 2y = e^x \cos x\)
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1 \pm i\) を得るので,基本解は \(e^x \cos x\) と \(e^x \sin x\) です。特殊解を \(y = a x e^x \cos x + b x e^x \sin x\) とおいて,与式に代入します。 \[\begin{eqnarray*} && y = a x e^x \cos x + b x e^x \sin x \\[2px] && y' = e^x \left\{(ax + bx + a)\cos x + (-ax + bx + b)\sin x\right\} \\[2px] && y'' = 2e^x\left\{(bx + a + b)\cos x + (-ax - a + b)\sin x\right\} \\[6px] ∴\quad && 2e^x (b\cos x - a\sin x) = e^x \cos x \end{eqnarray*}\] 両辺の係数を比較して \[a = 0\ ,\quad b = \frac{1}{2}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^x \cos x + C_2 e^x \sin x + \frac{1}{2}x e^x \sin x\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1 \pm i\) を得るので,基本解は \(e^x \cos x\) と \(e^x \sin x\) です。特殊解を \(y = A(x) e^x \cos x + B(x) e^x \sin x\) とします。 \[\begin{eqnarray*} \mbox{W} &=& e^x \cos x \cdot e^x (\sin x + \cos x) \\ && \hspace{2em} - e^x(\cos x - \sin x) \cdot e^x \sin x \\[2px] &=& e^{2x} \\[6px] A'(x) &=& -\frac{e^x \cos x \cdot e^x \sin x}{e^{2x}} = -\frac{1}{2}\sin 2x \\[2px] B'(x) &=& \frac{e^x \cos x \cdot e^x \cos x}{e^{2x}} = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x) \\[6px] A(x) &=& \frac{1}{4} \cos 2x = \frac{1}{2}\cos^2 x - \frac{1}{4} \\[2px] B(x) &=& \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x \cos x \\[6px] ∴\quad y &=& \frac{1}{2}\cos^2 x \cdot e^x \cos x + \frac{x + \sin x \cos x}{2} \cdot e^x \sin x \\[2px] &=& \frac{1}{2}x e^x \sin x + \frac{1}{2} e^x \cos x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[\begin{eqnarray*} y &=& C_1 e^x \cos x + C_2 e^x \sin x + \frac{1}{2}x e^x \sin x + \frac{1}{2} e^x \cos x \\[2px] &=& C_1 e^x \cos x + C_2 e^x \sin x + \frac{1}{2}x e^x \sin x \end{eqnarray*}\]
特性方程式 \(\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0\) を解いて \(\lambda = 1 \pm i\) を得るので,基本解は \(e^x \cos x\) と \(e^x \sin x\) です。逆演算子を用いて特殊解を求めます。 \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{D^2 - 2D + 2}[e^x \cos x] \\[2px] &=& Re\left[\frac{1}{D^2 - 2D + 2}\left[e^{(1 + i)x}\right]\right] \\[2px] &=& Re\left[\frac{1}{2(1 + i) - 2}x e^{(1 + i)x}\right] \\[2px] &=& \frac{1}{2} x e^x Re\left[\frac{1}{i} e^{ix}\right] \\[2px] &=& \frac{1}{2} x e^x Re\left[-i(\cos x + i\sin x)\right] \\[2px] &=& \frac{1}{2} x e^x \sin x \end{eqnarray*}\] したがって,求める一般解は \[y = C_1 e^x \cos x + C_2 e^x \sin x + \frac{1}{2}x e^x \sin x\]