連立微分方程式

今日のテーマは連立線形微分方程式。最も簡単な連立線形微分方程式の解き方について考えます。最も簡単な連立線形微分方程式とは，次のようなものです。 \[\left\{\begin{array}{lcc} \displaystyle \frac{dx}{dt} = 2x + 3y & \cdots & (17.1) \\ \displaystyle \frac{dy}{dt} = 2x + y & \cdots & (17.2) \end{array}\right.\] \(x\) と \(y\)　が \(t\) の関数であって，\((17.1)\) と \((17.2)\) が成り立っているとき，\(x\) と \(y\) とを求めようというものです。

未知関数が２つで式が２つですから，足したり引いたり代入したりで求められそうです。単純に考えていきましょう。\((17.1)\) から \[y = \frac{1}{3}\left(x' - 2x\right)\ ,\quad y' = \frac{1}{3}\left(x'' - 2x'\right)\] \((17.2)\) に代入すると \[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{3}\left(x'' - 2x'\right) = 2x + \frac{1}{3}\left(x' - 2x\right) \\[2px] && x'' - 2x' = 6x + x' - 2x \\[2px] && x'' - 3x' - 4x = 0 \end{eqnarray*}\] となって，線形２階斉次微分方程式に帰着できます。特性方程式を解くと \[\begin{eqnarray*} & \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 & \\[2px] & \left(\lambda - 4\right)\left(\lambda + 1\right) = 0 & \\[2px] & ∴\quad \lambda = 4,\ -1 \end{eqnarray*}\] となるので，\(x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}\) です。これを \((17.1)\) に代入して \[\begin{eqnarray*} 3y &=& x' - 2x \\[2px] &=& 4C_1 e^{4t} - C_1 e^{-t} - 2\left(C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}\right) \\[2px] &=& 2C_1 e^{4t} - 3C_2 e^{-t} \\[2px] ∴\quad y &=& \frac{2}{3}C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t} \end{eqnarray*}\] 以上より　\(\displaystyle x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}\ ,\quad y = \frac{2}{3}C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t}\)

微分演算子 \(D\) を用いると・・・

微分演算子を用いると，連立方程式を加減法で解いているなぁ … という感じが出てきます。本質的なところは上の解法と何ら変わりませんが，見た目がとてもスッキリします。

\((17.1)\) と \((17.2)\) は，微分演算子を用いて書き直すと次のようになります。 \[\left\{\begin{array}{lcc} (D - 2)x - 3y = 0 & \cdots & (17.3) \\ -2x + (D - 1)y = 0 & \cdots & (17.4) \end{array}\right.\] \((D - 1) \cdot (17.3) + 3 \cdot (17.4)\) より \[\begin{array}{ccrrcrcc} && (D - 1)(D - 2)x & - & 3(D - 1)y & = & 0 \\ + & ) & -6x & + & 3(D - 1)y & = & 0 \\ \hline && (D^2 - 3D - 4)x &&& = & 0 \\ && (D - 4)(D + 1)x &&& = & 0 \end{array}\] となるので，\(x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}\) を得られます。これを \((17.3)\) に代入して \[\begin{eqnarray*} 3y &=& (D - 2)x \\[2px] &=& \left\{\left(4C_1e^{4t} - C_2e^{-t}\right) - 2\left(C_1e^{4t} + C_2e^{-t}\right)\right\} \\[2px] &=& 2C_1 e^{4t} - 3C_2 e^{-t} \\[2px] ∴\quad y &=& \frac{2}{3}C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t} \end{eqnarray*}\] 以上より　\(\displaystyle x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}\ ,\quad y = \frac{2}{3}C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t}\)

行列を用いると・・・

線形代数を学んだ方のために，行列を使うことも考えてみましょう。\((17.1)\) と \((17.2)\) は，行列を使うと次のようになります。 \[\left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \tag{17.5}\] 係数行列 \(\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right)\) は固有値と固有ベクトルを用いて対角化することができます。

まず，固有値を求めましょう。 \[\begin{eqnarray*} && \left|\begin{array}{c} \lambda - 2 & -3 \\ -2 & \lambda - 1\end{array}\right| = 0 \\[2px] && (\lambda - 2)(\lambda - 1) - 6 = 0 \\[2px] && \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \\[2px] && (\lambda - 4)(\lambda - 1) = 0 \\[2px] && ∴\quad \lambda = 4\ ,\quad 1 \end{eqnarray*}\] \(\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)\) に \(\lambda = 4\) を代入して \(2x - 3y = 0\) を得るので，固有値 \(4\) に対する固有ベクトルとして \(\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\) をとることができます。

また，\(\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)\) に \(\lambda = -1\) を代入すると \(x + y = 0\) を得るので，固有値 \(-1\) に対する固有ベクトルとして \(\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)\) をとることができます。

したがって，\(P = \left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\) とすると \[P^{-1}\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)P = \left(\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)\] が成り立ちます。\((17.5)\) の左から \(P^{-1}\) を掛けます。 \[\begin{eqnarray*} && P^{-1}\left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right) = P^{-1} \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \\[4px] && P^{-1}\left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right) = P^{-1} \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right) P P^{-1} \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \\[4px] && P^{-1}\left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) P^{-1} \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \tag{17.6}\\[2px] \end{eqnarray*}\]

さて，ここで，対角化された行列を用いて \[\left(\begin{array}{c} X' \\ Y' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} X \\ Y \end{array}\right)\] と書けるとき，\(X\) と \(Y\) はどのような関数なのでしょうか？ \[X' = \alpha X\ ,\quad Y' = \beta Y\] ですから，変数分離形で扱ったように \[X = C_1 e^{\alpha t}\ ,\quad Y = C_2 e^{\beta t}\] となります。したがって \((17.6)\) より \[P^{-1}\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} C_1 e^{4t} \\ C_2 e^{-t} \end{array}\right)\] この式の左から \(P\) を掛けると \[\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) &=& \left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} C_1 e^{4t} \\ C_2 e^{-t} \end{array}\right) \\[4px] &=& \left(\begin{array}{c} 3C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t} \\ 2C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t} \end{array}\right) \end{eqnarray*}\] 面倒な計算に見えるかも知れませんが，実のところ，計算自体はとても簡単です。

ただし「係数行列が対角化できないときはどうするんだ？」という突っ込みが来そうです。そこで最後に，係数行列が固有値を１つしか持たない場合の解法を示します。扱う方程式は次のとおりです。 \[\left\{\begin{array}{l} x' = 5x - 3y \\ y' = 3x - y \end{array}\right. \tag{17.7}\] 昨年の7月23日の投稿 ２次正方行列のジョルダンの標準形 で，固有値が１つの２次の正方行列は，対角化することができない代わりに固有値 \(\lambda\) を用いて \(\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}\) と変形ができること，そして変換行列には \((A - \lambda E)\boldsymbol{u} = \boldsymbol{v}\) を満たす２つのベクトル \(\boldsymbol{v}\) と \(\boldsymbol{u}\) とを用いて \(P = \left(\boldsymbol{v},\ \boldsymbol{u}\right)\) をとれば良いことを示しました。

これより，\(\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = P^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix} X' \\ Y' \end{pmatrix} = P^{-1}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) と書けば \[\begin{pmatrix} X' \\ Y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}\] となるので，\(X' = \lambda X + Y ,\ Y' = \lambda Y\) が成り立ちます。

\(Y' = \lambda Y\) からは \(Y = C_1 e^{\lambda t}\) が分かり，さらに \(X' = \lambda X + Y\) に代入して \(X = C_1 te^{\lambda t} + C_2 e^{\lambda t}\) であることも分かります。行列 \(P\) を使って，\(x\) と \(y\) に戻せば，解を得ることができます。それでは，実際に \((17.7)\) を解きましょう。

行列 \(\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\) の特性方程式を解くと \[\begin{eqnarray*} & \left(5 - \lambda\right)\left(-1 - \lambda\right) + 9 = 0 & \\ & \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 & \\ & ∴\quad \lambda = 2 & \end{eqnarray*}\] 固有値は \(\lambda = 2\) の１つだけです。\(\left\{\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - 2E\right\} \boldsymbol{u} = \boldsymbol{v}\)，\(\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) とおいて，変換行列 \(P\) を求めると \(P = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\) です。したがって \[\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_1 te^{2t} + C_2 e^{2t} \\ C_1 e^{2t} \end{pmatrix} \\[4px] &=& \begin{pmatrix} 3C_1 t e^{2t} + \left(C_1 + 3C_2\right)e^{2t} \\ 3C_1 t e^{2t} + 3C_2 e^{2t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}\] このようにして解を求めることができます。

課題17－１

次の連立線形微分方程式を解きましょう。