前回,周期 \(T\) の関数 \(f(x)\) の実フーリエ級数展開が次のようになることを,結果のみ確認しました。\[\begin{array}{l} \displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos\frac{2\pi k}{T}x + b_k\sin\frac{2\pi k}{T}x\right) \\ \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle a_k = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\frac{2\pi k}{T}x\,dx & (\ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots\ )\\ \displaystyle b_k = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\frac{2\pi k}{T}x\,dx & (\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ ) \end{array}\right. \end{array}\] この式において,\(T = 2\pi\) すなわち,関数 \(f(x)\) の周期が \(2\pi\) であるとします。すると,次が成り立ちます。

周期が \(2\pi\) である関数の実フーリエ級数

\[\begin{array}{l} \displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos kx + b_k\sin kx\right) \\ \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle a_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx & (\ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots\ )\\ \displaystyle b_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx & (\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ ) \end{array} \right. \end{array}\]

 今回は,上の関係が成り立つことをザックリと確認していきます。

 まず,周期 \(2\pi\) の関数 \(f(x)\)\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos kx + b_k\sin kx\right) \tag{1}\]と級数展開できたとします。ここが一番ザックリしたところなのですね。そのように級数展開できる保証はまったくありません。が,ここでは \((1)\) が成り立つと考えましょう。\(\cos x \)\(\sin x\)\(\cos 2x\)\(\sin 2x\)\(\cdots\) の実数倍の和ですから,周期は \(2\pi\) になります。そのくらいのところで納得して,難しい話しからは目を背けましょう(笑)。その上で,係数の \(a_k\)\(b_k\) を決めていきます。

 \((1)\) の両辺を \(-\pi\) から \(\pi\) まで積分します。\[\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx \\ \displaystyle \hspace{3em} + \sum_{k = 1}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi}\big(a_k\cos kx\,dx + b_k\sin kx\big)\,dx \\ \displaystyle = \frac{a_0}{2}\Big[\,x\,\Big]_{-\pi}^{\pi} + \sum_{k = 0}^{\infty}\left[\frac{a_k\sin kx}{k} - \frac{b_k\cos kx}{k}\right]_{-\pi}^{\pi} \\ \displaystyle = \pi\cdot a_0 \end{array}\]したがって  \(\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\)

 次に,\((1)\) の両辺を \(\cos nx\) 倍して,\(-\pi\) から \(\pi\) まで積分します。\[\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx\\ \displaystyle \hspace{2em} + \sum_{k = 1}^{\infty}\Big(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx \cos nx \,dx \\ \displaystyle \hspace{4.5em} + b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx \cos nx \,dx \Big) \end{array}\]ところで\[\begin{array}[t]{l} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos kx \cos nx \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\big\{\cos(k + n)x + \cos(k - n)x\big\}\,dx \\ = \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(k + n)x}{k + n}x + \frac{\sin(k - n)x}{k - n}\right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad(k \ne n) \\ \displaystyle \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(k + n)x}{k + n} + x\right]_{-\pi}^{\pi} = \pi\quad (k = n) \end{array}\right.\\[8px] \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin kx \cos nx \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\big\{\sin(k + n)x + \sin(k - n)x\big\}\,dx \\ = \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(k + n)x}{k + n} - \frac{\cos(k - n)x}{k - n}\right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad (k \ne n) \\ \displaystyle \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(k + n)x}{k + n}\right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad (k = n) \end{array}\right. \end{array}\]したがって \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx = \pi\cdot a_n\) であり,\(\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\)

 同様に,\((1)\) の両辺を \(\sin nx\) 倍して,\(-\pi\) から \(\pi\) まで積分します。\[\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx\\ \displaystyle \hspace{2em} + \sum_{k = 1}^{\infty}\Big(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx \sin nx \,dx \\ \displaystyle \hspace{4.5em} + b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx \sin nx \,dx \Big) \end{array}\]ところで\[\begin{array}[t]{l} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos kx \sin nx \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\big\{\sin(k + n)x - \sin(k - n)x\big\}\,dx \\ = \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(k + n)x}{k + n}x + \frac{\cos(k - n)x}{k - n}\right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad(k \ne n) \\ \displaystyle \left[-\frac{\cos(k + n)x}{k + n}\right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad (k = n) \end{array}\right.\\[8px] \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin kx \sin nx \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\big\{-\cos(k + n)x + \cos(k - n)x\big\}\,dx \\ = \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2}\left[-\frac{\sin(k + n)x}{k + n} + \frac{\sin(k - n)x}{k - n}\right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad (k \ne n) \\ \displaystyle \frac{1}{2}\left[-\frac{\sin(k + n)x}{k + n} + x\right]_{-\pi}^{\pi} = \pi \quad (k = n) \end{array}\right. \end{array}\]したがって \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx = \pi\cdot b_n\) であり,\(\displaystyle b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\)

 以上で目標の関係 ― 周期 \(T\) の関数の実フーリエ級数展開 ― を確認できました。(証明とは言えませんね f^^;)

\[\begin{array}{l} \displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos kx + b_k\sin kx\right) \\ \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx \\ \displaystyle a_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx & (\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ )\\ \displaystyle b_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx & (\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ ) \end{array} \right. \end{array}\]

 \(a_0\) を特別扱いしていますが,これは,実際に計算すると分かります。また,この級数が収束することについては何も述べていません。これについては,回が進んだところで見ていきたいと思います。

 次回は,周期 \(2\pi\) の関数について,実際にフーリエ級数展開を求めましょう。

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:46 AM