タイトルにあるとおり,本日は,周期が \(2\pi\) である簡単な関数について実フーリエ級数展開を求めます。第1回で下の関数の実フーリエ級数を Wolfram Alpha により求めました。最初は,この関数の実フーリエ級数をPCに頼らず求めてみましょう。

例題1 次の関数の実フーリエ級数展開を求めましょう。\[f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \ 0 & (-\pi \leqq x < 0) \\ \ 1 & (\hspace{0.4em} 0 \leqq x < \pi\hspace{0.4em})\end{array}\right.\]

\(x\)

\(y\)

解 答

まず,\(a_0\) から求めます。 \[a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\,dx = \frac{1}{\pi}\Big[\,x\,\Big]_0^{\pi} = 1\] 続いて \(a_k\quad(k \geqq 1)\) を求めます。 \[a_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos kx \,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{k}\sin kx\right]_0^{\pi} \\ \displaystyle = \frac{1}{k}(\sin k\pi - \sin 0) = 0 \end{array}\] さらに,\(b_k\) を求めます。 \[b_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin kx\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left[-\frac{1}{k}\cos kx\right]_0^{\pi} \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left(-\frac{1}{k}\cos \pi k + \frac{1}{k}\right) \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^k}{k} \end{array}\] 以上から \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\sum_{k}^{\infty}\frac{1 - (-1)^k}{k}\cdot\sin kx\) となります。ただし,この式はこれで宜しいのですが \[\frac{1 - (-1)^k}{2} = \left\{\begin{array}{cl} 1 & (\ k:odd\ ) \\ 0 & (\ k:even\ ) \end{array}\right.\] となって,奇数番目だけに現れることが分かりますから,次のようになります。 \[f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sin(2k - 1)x}{2k - 1}\]

課題1 次の関数の実フーリエ級数を求めましょう。いずれも周期は \(2\pi\) です。

⑴ \(f(x) = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle -\frac{\pi}{4} & \displaystyle \left(-\frac{\pi}{2} \leqq x < \frac{\pi}{2}\right) \\ \displaystyle \frac{\pi}{4} & \displaystyle \left(\frac{\pi}{2} \leqq x < \frac{3\pi}{2}\right) \end{array}\right.\)

\(x\)

\(y\)

\[\begin{array}{l} a_0 \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}\frac{\pi}{4}\,dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\pi}{4}\,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\pi}{4}\,dx\right) \\ \displaystyle = \frac{1}{4}\left(\Big[\,x\,\Big]_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} - \Big[\,x\,\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \Big[\,x\,\Big]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\right) \\ \displaystyle = \frac{1}{4}\left(-\frac{\pi}{2} + \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \pi - \frac{\pi}{2}\right) = 0\\ \end{array}\\[8px] a_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}\left(\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}\cos kx\,dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos kx\,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos kx\,dx\right) \\ \displaystyle = \frac{1}{4k}\left(\Big[\,\sin kx\,\Big]_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} - \Big[\,\sin kx\,\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \Big[\,\sin kx\,\Big]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{4k}\Big\{\Big(-\sin\frac{\pi k}{2} + \sin\pi k\Big) - \Big(\sin\frac{\pi k}{2} + \sin\frac{\pi k}{2}\Big) \\ \displaystyle \hspace{15em} + \Big(\sin \pi k - \sin\frac{\pi k}{2}\Big)\Big\} \\ \displaystyle = -\frac{1}{k}\cdot\sin\frac{\pi k}{2} \end{array} \\[8px] b_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}\left(\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}\sin kx\,dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin kx\,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin kx\,dx\right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{4k}\left(\Big[\,\cos kx\,\Big]_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} - \Big[\,\cos kx\,\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \Big[\,\cos kx\,\Big]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{4k}\Big\{\Big(\cos\frac{\pi k}{2} - \cos\pi k\Big) - \Big(\cos\frac{\pi k}{2} - \cos\frac{\pi k}{2}\Big) \\ \displaystyle \hspace{15em} + \Big(\cos \pi k - \cos\frac{\pi k}{2}\Big)\Big\} \\ \displaystyle = 0 \end{array} \end{array}\]

以上に加え,\(\displaystyle \sin\frac{\pi k}{2}\) が,\(k = 1,\ 2,\ \cdots\)\(1,\ 0,-1,\ 0,\ 1,\ 0,\ \cdots\) と変化することを考慮してフーリエ級数を求めます。 \[f(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(-1)^k\cdot\cos(2k - 1)x}{2k - 1}\tag{1}\]  ところで,\(f(x)\) のグラフをよく見てみましょう。偶感数であることに気付くと思います。\(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx\)\(f(x)\sin kx\) が奇関数であり \(0\) です。つまり,偶関数のフーリエ級数には \(\sin kx\) が含まれず,これを フーリエ余弦級数 といいます。実際に \((1)\) 式を見れば,\(\cos\) のみの級数になっていることが分かります。ということは・・・,\(a_k\) は求める必要がなかったのですね f^^; 。反対に奇関数 \(f(x)\) のフーリエ級数は,\(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx = 0\) となるので,\(\sin kx\) のみの級数になります。これを フーリエ正弦級数 といいます。

⑵ \(f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (-\pi \leqq x < 0) \\ x & (0 \leqq x < \pi) \end{array}\right.\)

\(x\)

\(y\)

\[\begin{array}{l} \displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\,dx = \frac{1}{2\pi}\Big[\,x^2\,\Big]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} \\[8px] \displaystyle a_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos kx\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi k}\int_0^{\pi} x(\sin kx)'\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi k}\left(\Big[\,x\sin kx\,\Big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \sin kx \,dx\right) \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi k}\left[\frac{\cos kx}{k}\right]_0^{\pi} \\ \displaystyle = \frac{\cos\pi k - 1}{\pi k^2} = \frac{(-1)^k - 1}{\pi k^2} \end{array}\\[8px] \displaystyle b_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin kx \,dx \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k}\int_0^{\pi} x(\cos kx)'\,dx \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k}\left(\Big[\,x\cos kx\,\Big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \cos kx \,dx\right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k}\left(\pi\cos\pi k - \frac{1}{k}\Big[\sin kx\Big]_0^{\pi}\right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k}\cdot \pi \cos\pi k = \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{array} \end{array}\]\(\displaystyle\hspace{2em}∴\quad f(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^k - 1}{\pi k^2}\cdot\cos k x + \frac{(-1)^{k + 1}}{k}\cdot\sin kx\right\}\)

⑶ \(f(x) = x\quad(-\pi \leqq x < \pi)\)

\(x\)

\(y\)

 これは,奇関数ですから \(b_k\) のみを求めます。 \[b_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin kx\,dx \\ \displaystyle = -\frac{2}{\pi k}\int_0^{\pi}x(\cos kx)'\,dx \\ \displaystyle = -\frac{2}{\pi k}\left(\Big[\,x\cos kx\,\Big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi}\cos kx \,dx\right) \\ \displaystyle = - \frac{2}{\pi k}\left(\pi\cos\pi k - \left[\frac{1}{k}\sin kx\right]_0^{\pi}\right) \\ \displaystyle = -\frac{2}{k}\cos\pi k = \frac{2\cdot(-1)^{k + 1}}{k} \end{array}\]\(\displaystyle\hspace{2em}∴\quad f(x) = 2\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{k + 1}}{k}\cdot\sin kx\)

⑷ \(f(x) = x\quad(0 \leqq x < 2\pi)\)

\(x\)

\(y\)

 \(f(x) = x\) と言っても,奇関数でないことはグラフから分かりますね。グラフの形からは \(\cos kx\) の項は出てこないと感じられますが,念のためにすべての係数を求めましょう。 \[\begin{array}{l} a_0 \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left\{\int_{-\pi}^0(x + 2\pi)\,dx + \int_0^{\pi}x\,dx\right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{2\pi} = 2\pi \end{array} \\[8px] a_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left\{\int_{-\pi}^0(x + 2\pi)\cos kx\,dx + \int_0^{\pi}x\cos x\,dx\right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left\{\int_{\pi}^{2\pi}x\cos kx\,dx + \int_0^{\pi}x\cos x\,dx\right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\cos kx\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi k}\int_0^{2\pi}x(\sin kx)'\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi k}\left\{\Big[x\sin kx\Big]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi}\sin kx\,dx\right\} \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k^2}\Big[\,\cos kx\,\Big]_0^{2\pi} = 0 \\ \end{array} \\[8px] b_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left\{\int_{-\pi}^{0}(x + 2\pi)\sin kx\,dx + \int_0^{\pi}x\sin kx\,dx\right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left(\int_{\pi}^{2\pi}x\sin kx\,dx + \int_0^{\pi}x\sin kx\,dx\right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k}\left\{\int_0^{\pi}x(\cos kx)'\,dx\right\} \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k}\left(\Big[x\cos kx\Big]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi}\cos kx\,dx\right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{\pi k}(2\pi\cos 2\pi k) = -\frac{2}{k} \end{array} \end{array}\]\(\displaystyle \hspace{2em}∴\quad f(x) = \pi - 2\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sin kx}{k}\)

Last modified: Friday, 14 May 2021, 4:58 PM