今日は,周期 \(2\pi\) の関数の実フーリエ級数を基に,周期 \(T\) の関数の実フーリエ級数を求めましょう。

 今,\(f(x)\) が周期 \(T\) の関数であるとし,\(\displaystyle x = \frac{T}{2\pi}t\) により変数変換をします。すると,\(\displaystyle f\left(\frac{T}{2\pi}t\right) = g(t)\) は,\(t\) について周期 \(2\pi\) の関数になります。したがって,\(g(x)\) は次のようにフーリエ級数展開されます。 \begin{eqnarray} g(t) &=& \frac{1}{\pi} + \sum_{k = 1}^{\infty}(a_k\cos kt + b_k\sin kt)\tag{1} \\ a_k &=& \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\cos kt\,dt \tag{2} \\ b_k &=& \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\sin kt\,dt \tag{3} \end{eqnarray}  そこで,\(\displaystyle t = \frac{2\pi}{T}\) で変数を \(x\) に戻すと \((1)\)\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos\frac{2\pi k}{T}\,x + b_k\sin\frac{2\pi k}{T}\,x\right)\] \((2)\)\((3)\)\(\displaystyle dt = \frac{2\pi}{T}\,dx\) 及び \(\begin{array}{c|ccc} t & -\pi & \to & \pi \\ \hline x & -\frac{T}{2} & \to & \frac{T}{2}\end{array}\) を用いて \[\begin{eqnarray} a_k &=& \frac{1}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\frac{2\pi k}{T}x\cdot\frac{2\pi}{T}\,dx \\ &=& \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\frac{2\pi k}{T}x\,dx \\[4px] b_k &=& \frac{1}{\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\frac{2\pi k}{T}x\cdot\frac{2\pi}{T}\,dx \\ &=& \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\frac{2\pi k}{T}x\,dx \end{eqnarray}\]

 以上のことから,周期 \(T\) の関数 \(f(x)\) は次のようにフーリエ級数展開されることが分かりました。

周期 \(T\) の関数の実フーリエ級数

\[\begin{array}{l} \displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos\frac{2\pi k}{T}\,x + b_k\sin\frac{2\pi k}{T}x\right) \\ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle a_k = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\frac{2\pi k}{T}x\,dx \quad (\ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots\ )\\ \displaystyle b_k = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\frac{2\pi k}{T}x\,dx \quad (\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ ) \end{array} \right. \end{array}\]

例題2 周期 \(2\) である次の関数の実フーリエ級数を求めましょう。\[f(x) = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle -\frac{\pi}{4} & (-1 \leqq x < 0) \\ \displaystyle \frac{\pi}{4} & (0 \leqq x < 1)\end{array}\right.\]

\(x\)

\(y\)

解 答

 グラフから \(f(x)\) は奇関数であることが分かります。したがって \[b_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 2\int_0^1 \frac{\pi}{4}\sin\pi kx\,dx\\ \displaystyle = \frac{\cancel{2\pi}}{^2\cancel{4\pi}k} \Big[-\cos\pi kx\Big]_0^1 \\ \displaystyle = \frac{1}{2k}(-\cos\pi k + 1) \\ \displaystyle = \frac{-\cos\pi k + 1}{2k} \\ \displaystyle = \frac{1 - (-1)^k}{2k} \end{array}\]

∴ \(\displaystyle f(x) = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1 - (-1)^k}{2k}\sin\pi k x\)

課題2 次の関数の実フーリエ級数を求めましょう。

⑴ \(f(x) = |\,x\,|\quad (-1 \leqq x < 1)\ ,\quad f(x + 2) = f(x)\)

\(x\)

\(y\)

 グラフから \(f(x)\) は偶関数であると分かります。したがって \[\begin{array}{l} a_0 \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 2\int_0^1 x\,dx = \Big[\,x^2\,\Big]_0^1 = 1 \end{array}\\ a_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 2\int_0^1 x\cos \pi kx\,dx \\ \displaystyle = \frac{2}{\pi k}\int_0^1 x(\sin\pi kx)'\,dx \\ \displaystyle = \frac{2}{\pi k}\left(\Big[x\sin\pi kx\Big]_0^1 - \int_0^1\sin\pi kx\,dx\right) \\ \displaystyle = \frac{2}{(\pi k)^2}\Big[\cos\pi kx\Big]_0^1 \\ \displaystyle = \frac{2(\cos\pi k - 1)}{(\pi k)^2} \\ \displaystyle = \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{(-1)^k - 1}{k^2} \end{array} \end{array}\]

∴ \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi^2}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^k - 1}{k^2}\cdot\cos\pi kx\)

⑵ \(f(x) = x^2\quad (-1 \leqq x < 1)\ ,\quad f(x + 2) = f(x)\)

\(x\)

\(y\)

 この関数もまた偶関数です。 \[\begin{array}{l} \displaystyle a_0 = 2\int_0^1x^2\,dx = \frac{2}{3}\Big[\,x^3\,\Big]_0^1 = \frac{2}{3} \\ a_k \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 2\int_0^1x^2\cos\pi kx\,dx \\ \displaystyle = \frac{2}{\pi k}\int_0^1x^2(\sin\pi kx)'\,dx \\ \displaystyle = \frac{2}{\pi k}\left(\Big[x^2\sin\pi kx\Big]_0^1 - 2\int_0^1x\sin\pi kx\, dx\right) \\ \displaystyle = \frac{4}{(\pi k)^2}\int_0^1x(\cos\pi kx)'\,dx \\ \displaystyle = \frac{4}{(\pi k)^2}\left(\Big[x\cos\pi kx\Big]_0^1 - \int_0^1\cos\pi kx\,dx\right) \\ \displaystyle = \frac{4}{(\pi k)^2}\left(\cos\pi k - \frac{1}{\pi k}\Big[\sin\pi kx\Big]_0^1\right) \\ \displaystyle = \frac{4\cdot(-1)^k}{(\pi k)^2} \end{array} \end{array}\]

∴ \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{3} + \frac{4}{\pi^2}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}\cdot\cos\pi kx\)

最終更新日時: 2021年 03月 5日(金曜日) 05:47