前回,周期が \(T\) の関数の実フーリエ級数が次のようになることを確認しました。

周期 \(T\) の関数の実フーリエ級数

\[\begin{array}{l} \displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos\frac{2\pi k}{T}\,x + b_k\sin\frac{2\pi k}{T}x\right) \\ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle a_k = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\frac{2\pi k}{T}x\,dx \quad (\ k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots\ )\\ \displaystyle b_k = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\frac{2\pi k}{T}x\,dx \quad (\ k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ ) \end{array} \right. \end{array}\]

 今回は,オイラーの公式を用いて実フーリエ級数を指数関数の級数に書き換えます。オイラーの公式については,こちら で解説しています。

オイラーの公式

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

これより \(\displaystyle \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\ ,\ \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\) となりますから,これを \[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cos\frac{2\pi k}{T}\,x + b_k\sin\frac{2\pi k}{T}x\right)\] に代入します。\(\displaystyle \frac{2\pi k}{T}x = \theta\) とします。 \begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(a_k\cdot\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} + b_k\cdot\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\right) \\ &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(\frac{a_k - b_ki}{2}\,e^{i\theta} + \frac{a_k + b_ki}{2}\,e^{-i\theta}\right) \\ &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(\frac{a_k - b_ki}{2}\,e^{i\frac{2\pi k}{T}x} + \frac{a_k + b_ki}{2}\,e^{-i\frac{2\pi k}{T}x}\right) \tag{1}\\ \end{eqnarray} さらに,\(\displaystyle \frac{a_k + b_ki}{2}\)\(\displaystyle \frac{a_k + b_ki}{2}\) とを指数で表しましょう。 \[\begin{eqnarray} \frac{a_k - b_ki}{2} &=& \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\,dx - \cancel{i} \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\frac{e^{i\theta} - e^{-\theta}}{2\cancel{i}}\,dx \\ &=& \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)e^{-i\theta}\,dx \\ &=& \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\,e^{\,-i\frac{2\pi k}{T}x}\,dx \\[4px] \frac{a_k + b_ki}{2} &=& \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\,dx + \cancel{i} \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\frac{e^{i\theta} - e^{-\theta}}{2\cancel{i}}\,dx \\ &=& \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)e^{i\theta}\,dx \\ &=& \frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\,e^{\,i\frac{2\pi k}{T}x}\,dx \\ &=& \frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\,e^{\,-i\frac{2\pi(-k)}{T}x}\,dx \\ \end{eqnarray}\] したがって,\(\displaystyle \frac{a_k - b_ki}{2} = c_k\) と書けば,\(\displaystyle \frac{a_k + b_ki}{2} = c_{-k}\) と書くことができますし,\(\displaystyle \frac{a_0}{2} = c_0\) です。これを用いると \((1)\) は次のようになります。 \begin{eqnarray} f(x) &=& c_0 + \left(c_1\,e^{\,i\frac{2pi}{T}\,x} + c_{-1}\,e^{-\,i\frac{2\pi(-1)}{T}\,x}\right) \\ &&\hspace{5em} + \left(c_2\,e^{\,i\frac{2pi\cdot2}{T}\,x} + c_{-2}\,e^{-\,i\frac{2\pi(-2)}{T}\,x}\right) + \cdots \\ &=& \sum_{k = -\infty}^{\infty}c_k\,e^{\,i\frac{2\pi k}{T}\,x} \end{eqnarray} 以上から次のことが言えました。

周期 \(T\) の関数の複素フーリエ級数

\[\displaystyle f(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}c_k\,e^{\,i\frac{2\pi k}{T}\,x}\ ,\quad c_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\,e^{\,-i\frac{2\pi k}{T}\,x}\,dx\]

最終更新日時: 2021年 03月 3日(水曜日) 12:40