2020/07/29 周回積分

本日のお題

曲線 \(y = x^2\) と曲線 \(y =x\) で囲まれる領域を \(D\),領域 \(D\) の境界を曲線 \(C\) として,\(\displaystyle \oint_C\left\{\left(x^2 + y^2\right)\,dx + xy\,dy\right\}\) を求めよ。

はい,かしこまりました

解説に入る前に,前回のご質問を復習しておきましょう

曲線 \(\displaystyle \mbox{C}:\ \boldsymbol{r} = \left(\cos\theta,\ \sin\theta,\ \theta\right)\quad\left(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\right)\) に沿って,スカラー場 \(\varphi(x,\ y,\ z) = x + z\) の

  曲線弧長 \(s\) に関する線積分 \(\displaystyle \int_C \varphi(x,\ y,\ z)\,ds\ ,\)

  \(x\) に関する線積分 \(\displaystyle \int_C \varphi(x,\ y,\ z)\,dx\ ,\)

  \(y\) に関する線積分 \(\displaystyle \int_C \varphi(x,\ y,\ z)\,dy\ ,\)

  \(z\) に関する線積分 \(\displaystyle \int_C \varphi(x,\ y,\ z)\,dz\)

をそれぞれ求めよ。

今回の積分は,この問いの \(x\)\(y\) に関する線積分を同時にやってしまおうというものです
そしてもう一つ,今回の問いは 周回積分 つまり,閉曲線に沿って左回りに積分するのですね

\(\hspace{3em} \displaystyle \int_C \varphi(x,\ y,\ z)\,dx  \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x + z)\,\frac{dx}{d\theta} \, d\theta  \\ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta + \theta )(-\sin\theta)\,d\theta \\ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\sin\theta \, \cos\theta - \theta\,\sin\theta)\,d\theta\\ \displaystyle = - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta \,d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta(\cos\theta)'\,d\theta \\ \displaystyle = \frac{1}{4}\Big[\cos 2\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} + \Big[\theta\,\cos\theta\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\,d\theta \\ \displaystyle = \frac{1}{4}\cdot(-2) + 0 - 1 = - \frac{3}{2} \end{array}\)

\(\hspace{3em} \displaystyle \int_C \varphi(x,\ y,\ z)\,dy  \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x + z)\,\frac{dy}{d\theta} \, d\theta  \\ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta + \theta ) \,\cos\theta \,d\theta \\ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 \theta + \theta\,\cos\theta)\,d\theta\\ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \,d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta\,(\sin\theta)'\,d\theta \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\,\sin 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \Big[\theta \,\sin\theta \Big]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\,d\theta \\ \displaystyle = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - 1 = \frac{3}{4}\pi - 1 \end{array}\)

これを踏まえて,\(\displaystyle \oint_C\left\{\left(x^2 + y^2\right)\,dx + xy\,dy\right\}\) を考えましょう

まず,積分経路を表す \(\boldsymbol{r}\) が必要ですね・・・次のように考えたら如何でしょう

\(\hspace{2em} \boldsymbol{r} = \left\{\begin{array}{ll} \left(t,\ t^2\right) & (0 \leqq t \leqq 1) \\[2px] \left(2 - t,\ 2- t\right) & (1 \leqq t \leqq 2) \end{array}\right.\)

これで,原点を出発して \(0 \leqq t \leqq 1\) の区間で \(y = x^2\) に沿って点 \((1, \ 1)\) まで進み,\(1 \leqq t \leqq 2\) の区間で \(y = x\) に沿って点 \((1,\ 1)\) から原点に戻ってきます

まず,\(0 \leqq t \leqq 1\) の区間では,\(x = t\),\(y = t^2\) ですから \(dx = dt\) と \(dy = 2t\,dt\) が成り立ちます

一方,\(1 \leqq t \leqq 2\) の区間では,\(x = 2 - t\),\(y = 2 - t\) ですから \(dx = -dt\),\(dy = -dt\) が成り立ちます

したがって,\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle \oint_C\left\{\left(x^2 + y^2\right)\,dx + xy\,dy\right\} \\[2px] \displaystyle = \int_0^1\left[\left\{t^2 + (t^2)^2\right\}\,dt + (t\cdot t^2)\,2t\,dt\right] \\[2px] \displaystyle \hspace{2em} + \int_1^2\left[\left\{(2 - t)^2 + (2 - t)^2\right\}\,(-dt) + (2 - t)(2 - t)\,(-dt) \right] \end{array}\)

が成り立ちます

さて,ここで,前半の式をもう少しだけ整理してみましょう

\(\hspace{2em}\displaystyle \int_0^1\left\{\left(t^2 + t^4\right)\,dt + t^3\cdot 2t\,dt \right\}\)

如何でしょう? 質問者さんが疑問に思った式と比べてください
積分変数こそ,\(t\) と \(x\) で異なりますが,定積分ですから同じ意味になります
つまり,教科書の解答は,\(x = t,\ y=t^2\) とするのではなく,\(x = x,\ y=x^2\) として上と同様の変形をしています

ここまでできれば,後は積分の計算をするだけですから,計算してしまいましょう

\(\hspace{2em}\begin{array}[t]{l} \displaystyle \oint_C\left\{\left(x^2 + y^2\right)\,dx + xy\,dy\right\} \\[2px] \displaystyle = \int_0^1\left\{\left(t^2 + t^4\right)\,dt + t^3\cdot 2t\,dt\right\} - \int_1^2 3\left(2 - t\right)^2\,dt \\[2px] \displaystyle = \int_0^1\left(3t^4 + t^2\right)\,dt + \Big[(2 - t)^3\Big]_1^2 \\[2px] \displaystyle = \left[\frac{3}{5}t^5 + \frac{1}{3}t^3\right]_0^1 - 1 \\[2px] \displaystyle = \frac{14}{15} -1 = -\frac{1}{15} \end{array}\)

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:30 PM