本時の目標
- 整式について，割り算の原理を理解する。
- 割り算の原理から剰余の定理を導くことができる。
- 因数定理を理解する。
- 因数定理を用いて，３次及び４次の整式を因数分解することができる。
整式の割り算
例題１ 次の計算をしましょう。
\[(2x^3 - 7x^2 + 5x + 5) \div (x - 2)\]
整式同士の割り算です。まずは，筆算で計算する方法を確認しましょう。下のスライドを見ましょう。
筆算で
\((2x^3 - 7x^2 + 5x + 5) \div (x - 2)\)を計算する手順を示します。
整数の割り算と同様に，赤色の部分に割られる式を，青色の部分に割る式をそれぞれ書きます。商は，緑色枠の部分に計算されます。
\(2x^3\) と \(x\) とを比較します。そして \(x\) に何かを掛けて \(2x^3\) にすることを考えます。
\(2x^2\) を掛けると \(2x^3\) になるので，その \(2x^2\) を商の欄に書きます。
\(2x^2\) と 割る式 \(x - 1\) とを掛けて，その結果を割られる式 \(2x^3 - 7x^2 + 5x + 5\) の下に書きます。
\(2x^3 - 7x^2\) から今書いた \(2x^3 - 4x^2\) を引きます。結果は \(-3x^2\) です。
割られる式 の \(5x\) を下ろして，\(-3x^2\) の右に書きます。ここからは，今までの手順を繰り返します。
\(x\) に \(-3x\) を掛けると \(-3x^2\) になるので・・・
\(2x^2\) の右に \(-3x\) を書きます。
\(-3x\) と \(x - 2\) を掛けて，その結果を \(-3x^2 + 5x\) の下に書きます。
引き算をします。
\(5\) を下ろします。
\(x\) に \(-1\) を掛けると \(-x\) になります。
掛け算をします。
引き算をして終了です。
商が \(2x^2 - 3x - 1\)，余りが \(3\) となります。
お終い。!!
課題１ 次の計算をしましょう。
\[(2x^3 - 7x^2 + 5x + 5) \div (x + 3)\]
計算の方法が先になってしまいましたが，そもそも「整式を整式で割った商と余りとは一体どのようなものなのか？」を確認しておかなければなりません。次のとおりでした。
割り算の原理
\(x\) の整式 \(A(x)\) と \(B(x)\) について，\(A(x)\) を \(B(x)\) で割った商が \(Q(x)\) で余りが \(R(x)\) であるとは \[A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\]
\(\big(R(x)\) の次数 ＜ \(B(x)\) の次数\(\big)\)
が成り立つことである。
課題２
例題１ 及び 課題１ の割り算を，割り算の原理で書き換えましょう。
課題３
\(A(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5x + 5\) について，上の 課題２ を参考にして，\(A(2)\) と \(A(-3)\) の値を求めましょう。課題２ の結果を用いると，その値が一瞬で分かります。
剰余の定理
課題３ の反対のことを考えます。
\(A(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5x + 5\) を \(x + 1\) で割ったときの商と余りを，それぞれ \(Q(x)\) と \(R\) とおきます。（１次式の \(x + 1\) で割るので，余りは定数です。）すると， \[A(x) = (x + 1)\,q(x) + r\]が成り立ちます。ここで，上の式の両辺に \(x = -1\) を代入すると \[x + 1 = -1 + 1 = 0\] なので，\(A(-1) = R\) です。
∴ \(R \begin{array}[t]{l} = A(-1) \\ = 2\cdot(-1)^3 - 7\cdot(-1)^2 + 5\cdot(-1) + 5 \\ = -9 \end{array}\)
割り算をしなくても，割り算の余りを求めることができました。
課題４
\(x\) の整式 \(A(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 11\) を次の式で割ったときの余りを求めましょう。
- \(x -1 \)
- \(x + 2\)
- \(x - 3\)
以上のことを一般的な表現でまとめると，次のようになります。
剰余の定理
\(x\) の整式 \(A(x)\) を \(x - a\) で割ったときの余りは \(A(a)\) である。
因数定理
剰余の定理 から，もし \(A(a) = 0\) となる \(a\) が見つかれば，整式 \(A(x)\) を \(x - a\) で割った余りが \(0\)，すなわち \(A(x)\) は \(x - a\) で割り切れることが分かります。これを 因数定理 と呼びます。
因数定理
\(x\) の整式 \(A(x)\) について
\(A(a) = 0\ \Leftrightarrow\ A(x)\) は \(x - a\) を因数にもつ
が成り立つ。
例題２
\(x\) の整式 \(P(x) = x^3 - x^2 - 6x - 4\) について，\(P(a) = 0\) となる \(a\) を見つけ，\(P(x)\) が \(x - a\) で割り切れることを確かめましょう。
まずは，\(P(x)\) に \(x = 1\) を代入してみましょう。 \[P(1) = 1^3 - 1^2 - 6\cdot 1 - 4 = -10\] \(0\) にはなりませんでした。それでは，次に \(x = -1\) を代入してみましょう。 \[P(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 6\cdot (-1) - 4 = 0\] ということは，\(P(x)\) は \(x - (-1) = x + 1\) で割り切れるはずです。割り算をして，確かめましょう。
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\(x^2\) |
\(-\) |
\(2x\) |
\(-\) |
\(4\) |
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| \(x + 1\) |
\()\) |
\(x^3\) |
\(-\) |
\(x^2\) |
\(-\) |
\(6x\) |
\(-\) |
\(4\) |
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\(x^3\) |
\(+\) |
\(x^2\) |
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\(-\) |
\(2x^2\) |
\(-\) |
\(6x\) |
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\(-\) |
\(2x^2\) |
\(-\) |
\(2x\) |
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\(-\) |
\(4x\) |
\(-\) |
\(4\) |
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\(-\) |
\(4x\) |
\(-\) |
\(4\) |
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\(0\) |
確かに割り切れました。そして，この計算により \[x^3 - x^2 - 6x - 4 = (x + 1)(x^2 - 2x - 4)\] と因数分解できることも分かりました。
GeoGebra で整式の割り算
整式の割り算は，かなり面倒な計算になります。これを GeoGebra を使って計算してしまうことができます。
Division
- 書式：Division(整式１，整式２)
- 命令：整式１を整式２で割った商と余りを求める。
- 例 ：division(x2 + 3x + 1, x - 1)
- 出力：｛x - 1, 4｝
Div
- 書式：Div(整式１，整式２)
- 命令：整式１を整式２で割った商を求める。
- 例 ：division(x2 + 3x + 1, x - 1)
- 出力：x + 4
Mod
- 書式：Mod(整式１，整式２)
- 命令：整式１を整式２で割った余りを求める。
- 例 ：division(x3 + x2 + x + 6, x2 - 3)
- 出力：x - 1
この３つのコマンドは，整数に対しても使うことができて，割り算の商や余りを求めることができます。Division は計算結果がリスト形式で出力され，Div と Mod は整式で出力されるという違いがあります。スクリプトを書くときには注意が必要になります。
また，余りが 0 になることが分かっているようなときには，Factor で因数分解することも考えられます。
問題演習
課題５ 次の式を因数分解しましょう。
- \(x^3 - 7x + 6\) 解答 隠す
\(f(x) = x^3 - 7x + 6\) とおくと，\(f(1) = 1 - 7 + 6 = 0\) となるので，\(f(x)\) は \(x - 1\) で割り切れる。 \[\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}\]
∴ \(f(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)\)
- \(x^3 + x^2 - 5x + 3\) 解答 隠す
\(f(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3\) とおくと，\(f(1) = 1 + 1 - 5 + 3= 0\) となるので，\(f(x)\) は \(x - 1\) で割り切れる。 \[\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \\ & & 1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array}\]
∴ \(f(x) = (x - 1)(x^2 + 2x - 3) = (x - 1)^2(x + 3)\)
- \(x^3 - 5x^2 + 2x + 8\) 解答 隠す
\(f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8\) とおくと，\(f(-1) = -1 - 5 + 2 + 8 = 0\) となるので，\(f(x)\) は \(x + 1\) で割り切れる。 \[\begin{array}{c|rrrr} -1 & 1 & -5 & 2 & 8 \\ & & -1 & 6 & -8 \\ \hline & 1 & -6 & 8 & 0
\end{array}\] ∴ \(f(x) = (x + 1)(x^2 - 6x + 8) = (x + 1)(x - 2)(x - 4)\)
- \(2x^3 + 3x^2 - 1\) 解答 隠す
\(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1\) とおくと，\(f(-1) = -2 + 3 - 1 = 0\) となるので，\(f(x)\) は \(x + 1\) で割り切れる。 \[\begin{array}{c|rrrr} -1 & 2 & 3 & 0 & -1 \\ & & -2 & -1 & 1 \\ \hline & 2 & 1 & -1 & 0 \end{array}\]
∴ \(f(x) = (x + 1)(2x^2 + x - 1) = (x + 1)^2 (2x - 1)\)
- \(2x^3 - 3x^2 + 2x - 1\) 解答 隠す
\(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1\) とおくと，\(f(1) = 2 - 3 + 2 - 1 = 0\) となるので，\(f(x)\) は \(x - 1\) で割り切れる。 \[\begin{array}{c|rrrr} 1 & 2 & -3 & 2 & -1 \\ & & 2 & -1 & 1 \\ \hline & 2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\]
∴ \(f(x) = (x - 1)(2x^2 - x + 1)\)
- \(12x^3 - 4x^2 - 3x + 1\) 解答 隠す
\(f(x) = 12x^3 - 4x^2 - 3x + 1\) とおくと，\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\) となるので，\(f(x)\) は \(\displaystyle x - \frac{1}{2}\) で割り切れる。 \[\begin{array}{c|rrrr} \frac{1}{2} & 12 & -4 & -3 & 1 \\ & & 6 &
1 & -1 \\ \hline & 12 & 2 & -2 & 0 \end{array}\]\[\begin{eqnarray} ∴ \quad f(x) &=& \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(12x^2 + 2x - 2\right) \\[2px] &=& (2x - 1)(x^2 + x - 2) \\[2px] &=& (2x -
1)(2x + 1)(3x - 1)\end{eqnarray}\]
- \(12x^3 + 8x^2 - x - 1\) 解答 隠す
\(f(x) = 12x^3 + 8x^2 - x - 1\) とおくと，\(\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right) = 0\) となるので，\(f(x)\) は \(\displaystyle x + \frac{1}{2}\) で割り切れる。 \[\begin{array}{c|rrrr} -\frac{1}{2} & 12 & 8 & -1 & -1 \\ & & -6 &
-1 & 1 \\ \hline & 12 & 2 & -2 & 0 \end{array}\]\[\begin{eqnarray} ∴ \quad f(x) &=& \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(12x^2 + 2x - 2\right) \\[2px] &=& (2x + 1)(x^2 + x - 2) \\[2px] &=& (2x +
1)^2 (3x - 1)\end{eqnarray}\]
- \(x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6\) 解答 隠す
\[\begin{array}{c|rrrrr}1 & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ & & 1 & 2 & -5 & -6 \\ \hline -1 & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ && -1 & -1 & 6 & \\ \hline & 1 & 1 & -6
& 0 & \end{array}\]\[\begin{eqnarray} ∴ \quad f(x) &=& (x - 1)(x + 1)(x^2 + x - 6) \\[2px] &=& (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x - 2) \end{eqnarray}\]
- \(6x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 1\) 解答 隠す
\[\begin{array}{c|trrrrr}1 & 6 & -1 & -7 & 1 & 1 \\ & & 6 & 5 & -2 & -1 \\ \hline -1 & 6 & 5 & -2 & -1 & 0 \\ && -1 & 1 & 1 & \\ \hline & 6 & -1 &
-1 & 0 & \end{array}\]\[\begin{eqnarray} ∴ \quad f(x) &=& (x - 1)(x + 1)(6x^2 - x - 1) \\[2px] &=& (x - 1)(x + 1)(3x + 1)(2x - 1) \end{eqnarray}\]
- \(6x^4 - 19x^3 + 17x^2 - x - 3\) 解答 隠す
\[\begin{array}{c|trrrrr}1 & 6 & -19 & 17 & -1 & -3 \\ & & 6 & -13 & 4 & 3 \\ \hline 1 & 6 & -13 & 4 & 3 & 0 \\ && 6 & -7 & -3 & \\ \hline & 6 & -7 &
-3 & 0 & \end{array}\]\[\begin{eqnarray} ∴ \quad f(x) &=& (x - 1)^2(6x^2 - 7x - 3) \\[2px] &=& (x - 1)^2(3x + 1)(2x - 3) \end{eqnarray}\]