放物線と判別式の関係
本日のお題
\(k\) を定数として，\(x\) の2次関数\begin{equation}y = x^2 - 2kx + 1\end{equation}について，次のことを考えましょう
- \(x\) 軸と接するときの \(k\) の値を求め，さらにそのこときの接点の座標を求めましょう
- \(x\) 軸と２点で交わるときの 定数 \(k\) の値の範囲を求めましょう
ここでも，まず，グラフを動かして考えます
\(x\)
\(y\)
\(f(x) = x^2 - 2kx + 1\)
\(k = \)
おやおや，アプレットのグラフから解けてしまいますねぇ 皆さん，分かりましたか？
グラフが \(x\) 軸と接するは，\(k = 1\) と \(k = -1\) のときです
\((1)\) に \(k = 1\) を代入すると\begin{equation}y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\end{equation}となるので，\(x\) 軸に接していることと接点の座標が \((1,\ 0)\) であることが分かってしまいます
\(k = -1\) の方を代入すれば\begin{equation}y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\end{equation}となりますから，接点の座標は \((-1,\ 0)\) ですね
今，２次関数のグラフと２次方程式の解とを結びつけて考えました このことが大切なのです
次の２つは同じことを表しています
- ２次関数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) のグラフが \(x\) 軸と接する
- ２次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解が重解をもつ
そして，接点の \(x\) 座標と方程式の重解とは一致します
さて，枠内の事柄は後ほど更に掘り下げて考えることとして，お題の後半を解いてしまいましょう
\((1)\) のグラフが \(x\) 軸と２点で交わるのは\begin{equation}k < -1 ,\quad 1 < k\end{equation}のときですね
さぁ，それでは，先ほどのことをもう少し掘り下げましょう
２次関数 \((1)\) の式は\begin{equation}y = (x - k)^2 - k^2 + 1\end{equation}と変形（平方完成）することができます
したがって，この放物線の頂点の座標は\begin{equation}(k,\ -k^2 + 1)\end{equation}です
放物線の頂点が \(x\) 軸の上に乗っているときが，放物線が \(x\) 軸に接しているときです
以上から，次のことが分かります \(\cdots\ (♪)\)
２次関数 \((1)\) のグラフが
\(x\) 軸と接する\(\ \Longleftrightarrow\ -k^2 + 1 = 0\)
\(x\) 軸と２点で交わる\(\ \Longleftrightarrow\ -k^2 + 1 < 0\)
ところで，２次方程式 \(x^2 - 2kx + 1 = 0\) の方から，この問題を見てみると・・・
放物線 \((1)\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) との交点の \(x\) 座標は，方程式\begin{equation}x^2 - 2kx + 1 = 0 \end{equation}
の実数解になっています
したがって，方程式 \((7)\) の実数解の個数と，グラフと \(x\) 軸との交点の個数とは一致します
\((3)\) の判別式は \begin{equation}D/4 = k^2 - 1\end{equation}となり
２次関数 \((*)\) のグラフが
\(x\) 軸と接する\(\ \Longleftrightarrow\ D/4 = 0 \ \Longleftrightarrow\ -k^2 + 1 = 0\)
\(x\) 軸と２点で交わる\(\ \Longleftrightarrow\ D/4 > 0 \Longleftrightarrow\ -k^2 + 1 < 0\)
となって，上の \((♪)\) の結果と一致します
つまり，次のことが言えますね
放物線・ \(x\) 軸の位置関係と判別式
２次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) のグラフと \(x\) 軸との位置関係は，判別式 \begin{equation}D = b^2 - 4ac\end{equation} を用いて次のように分類できます
- ２点を共有する \(\Longleftrightarrow\) \(D > 0\)
- 接する \(\Longleftrightarrow\) \(D = 0\)
- 共有点をもたない \(\Longleftrightarrow\) \(D < 0\)