解の分離

前回，２次関数のグラフと２次方程式の解との関係が少しばかり登場しました

そこで今回は，この２つの関係について更に考えてみたいと思います

まずは，当たり前のことを確認します

\(\alpha = \) 　\(\beta =\)

上の図は，関数\begin{equation}f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\end{equation}のグラフを表しています

初期状態では \(f(x) = (x + 1)(x - 1)\) を表示していますが，グラフの下側に入力ボックスがあって，ここに数値を入れることで \(\alpha\) と \(\beta\) の値を変えることができます

それぞれの値を変えてみましょう

すると\begin{equation}f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\end{equation}のグラフは，２点 \((\alpha,\ 0)\)，\((\beta, \ 0)\) を必ず通っています

このことから，次のことが分かりますね

グラフで確認したからと言って，証明したことにはならないのですが，まっ，ここは固いこと抜きでいきましょう f^^;

さて，このことを使えば

「\(x\) の２次方程式 \(x^2 + ax + b = 0\) が異なる２つの正の解をもつ」は「\(x\) の２次関数 \(f(x) = x^2 + ax + b\) のグラフが，\(x\) 軸の正の部分と共有点を２つもつ」と同じ意味であることになります

\(a = \)	\(b = \)

上の図は，関数 \(f(x) = x^2 + ax + b\) のグラフを表しています

グラフのの下側にある２つのスライダーを動かすと，\(a\)，\(b\) の値を変えることができ，その変化に伴ってグラフも動きます（当然です f^^;）

この図を使って，グラフが \(x\) 軸の正の部分と２回交わるための条件を見つけましょう

\(a\) のスライダーを右に動かす，つまり，\(a\) 値を増やしていくと，グラフは左に左に動いていってしまいます

これでは，グラフは正の部分で２回交わりません

それでは，\(a\) のスライダーは左ですね・・・ん～，１つの交点は正の部分になりました

でも，もう１つは原点ですね・・・って \(b = 0\) だから当然!!

\(b\) の値を少し大きくすれば・・・おおっ！

いいですね～

でも，目標は グラフがこのようになるための条件を求める ことですからね

そのようになるための条件を求めるためには，そうでない状況と比較する・・・と見えてくることがあります

\(b\) を小さくしていくと，グラフの \(y\) 軸との交点が原点より下に下がってしまい，こうなると \(x\) 軸とは正の部分と負の部分とで１回ずつ交わるようになってしまいます

ところが，\(b\) の値が大きくなりすぎると，\(x\) と交点をもたなくなります・・・ん～，これは \(y\) 切片，つまり \(f(0)\) の値と \(D = b^2 - 4ac\) の値とを調べれば宜しいのではないでしょうか？

さ・ら・に・・・

最初に，上図の場合は不適であることを確認しました・・・\(a\) の値に関すること，つまり 放物線の軸 の位置を考えれば宜しいということです

逆に考えると，グラフが \(x\) 軸の正の部分と２回交わるためには，軸が \(x > 0\) の部分になければなりません

それでは，ここまでのことを整理しましょう

何とか求めることができました d^^b

さて，下のグラフでは，\(y\) 軸に平行な直線が引かれていて，この直線はスライダーの下の入力ボックスに式を入力することで表示できます

そうしますと，「\(-1\) より大きい，相異なる2つの実数解をもつ条件」「\(1\) より大きい解と小さい解を1つずつもつ条件」なども，この図を参考に求めることができそうですね

\(a = \)	\(b = \)

\(x = \)