２次不等式の解

これまでのお題を解くのに何度か２次不等式が登場しているので・・・今更という感じです f^^;

ただ，数学を学ぶのに不等式は重要なテーマでありますし，２次不等式の解法にこそグラフが活躍します

例えば，２次不等式\begin{equation}x^2 - 3x + 2 < 0\end{equation}を解こうとしたら，まず因数分解しますね \begin{equation}(x - 1)(x - 2) < 0\end{equation} \(x\) の２次関数 \(y = (x - 1)(x - 2)\) のグラフは下図のようになります

\(x^2 - 3x + 2 < 0\)

したがって，このグラフが \(x\) 軸の下側に潜り込んでいる部分を探すことになります
よって解は \begin{equation}1 < x < 2\end{equation} それではお題です
下のグラフは２次関数 \(y = x^2 - 2kx + k + 2\) のものです

　\(k = \) 　

初期状態の \(k = 0\) では，\(x\) 軸の下側にグラフはなく，つまり 解なし です

それでは，スライダを動かして \(k\) の値を増やしてみてください

\(k = 2\) で \(x\) 軸と接して，\(k\) の値が更に大きくなると \(x\) 軸と２点で交わるようになります

\(k\) の値を \(2\) より大きくすると，\(x\) 軸上に緑色の線分が現れ，ここが２次不等式 \(x^2 - 2kx + k + 2 < 0\) の解です

反対に \(k\) の値を減らしていっても，\(k < -1\) になると，\(x\) 軸上に不等式の解が現れます

グラフを参考にして，解を求めましょう

\(D/4 = k^2 - (k + 2) \leqq 0\) のとき，すなわち \(-1 \leqq k \leqq 2\) のとき，\(y = x^2 - 2kx + k + 2\) のグラフは \(x\) 軸の上側にあり，不等式 \(x^2 - 2kx + k + 2 < 0\) は解をもちません

\(D/4 = k^2 - (k + 2) > 0\) すなわち \(k < -1,\ 2 < k\) のとき，グラフは \(x = k \pm \sqrt{k^2 - k - 2}\) で \(x\) 軸と交わり，\(x^2 - 2kx + k + 2 < 0\) の解は \begin{equation} k - \sqrt{k^2 - k - 2} < x < k + \sqrt{k^2 - k - 2} \end{equation} となります

以上から，\(x^2 - 2kx + k + 2 < 0\) の解は \begin{equation} \left\{\begin{array}{cl} k - \sqrt{k^2 - k - 2} < x < k + \sqrt{k^2 - k - 2}&(k < -1,\quad 2 < k) \\[4px] \varnothing&(-1 \leqq k \leqq 2) \end{array}\right. \end{equation}