本日のお題

放物線 \begin{equation} \label{first} y = -x^2 + 2x\end{equation} の接線について考えます

  1. 放物線 \((\ref{first})\) 上の点 \((2,\ 0)\) における,この放物線の接線の方程式を求めましょう
  2. 放物線 \((\ref{first})\) の,直線 \(y = 2x + 3\) と平行な接線の方程式と接点の座標を求めましょう
  3. \((1,\ 2)\) から放物線 \((1)\) に引いた接線の方程式を求めましょう

接線に関しては,微分を使ってしまった方が,簡単に解ける場合が多くあります ^^;

しかしながら,放物線に限らず,2次曲線の接線に絡む問いに対しては,判別式が威力を発揮する場面が多いので,ここはしっかり学んでおく必要があります

直線の方程式

接線というのは直線ですから,当然,直線の方程式について最低限のことは確認しておかなければなりません

必要最低限のこと? 実は大したことありません

\((x_0,\ y_0)\) を通って,傾き \(m\) の直線の方程式 \begin{equation} y - y_0 = m(x - x_0) \end{equation}

これだけです ^^


接線を求めましょう

それでは (1) です

\((2,\ 0)\) を通る直線ですから,傾きを \(m\) とおけば

\(y - 0 = m(x - 2)\) すなわち \begin{equation}y = mx - 2m\end{equation}と書けます

放物線 \(y = -x^2 + 2x\) と接するので,連立して\begin{equation} -x^2 + 2x = mx - 2m \end{equation} 式を整頓しましょう \begin{equation} x^2 + (m - 2) x - 2m = 0 \end{equation} さらに,判別式をとると\begin{equation}\begin{array}[t]{c} D = (m - 2)^2 - 4\cdot(-2m) = 0\\ m^2 + 4m + 4 = 0\\ (m + 2)^2 = 0\\ \mbox{∴}\quad m = -2 \end{array}\end{equation}したがって,接線の方程式は\begin{equation}y = -2x + 4\end{equation}となります。


(2)

この問いでは,傾きだけが分っています

解答の流れからいくと,接点の座標を知りたくなりますが,それはちょっと面倒なのです

実は,\(y\) 切片を求める方が早いのですね

ですから,求める接線の方程式を\begin{equation} y = 2x + n \end{equation} とおきます \begin{equation} y = -2x^2 + 2x \end{equation} と連立しましょう \begin{equation} \begin{array}{c} -x^2 + 2x = 2x + n\\x^2 + n = 0\\ \mbox{∴}\quad n = 0\end{array}\end{equation} したがって,求める接線の方程式は \(y = 2x\) となります


(3)

考え方はいくつかありますが,ここでは接線の傾きを \(m\) とおいて,この値を求めることにしましょう

接線の方程式は \begin{equation} y - 2 = m(x - 1) \end{equation} すなわち \begin{equation} y = mx - m + 2 \end{equation} ここで,\(y = -x^2 + 2x\) と連立して \begin{equation} \begin{array}{l} -x^2 + 2x = mx - m + 2\\x^2 + (m - 2)x - m + 2 = 0\\D = (m - 2)^2 + 4m - 8 = 3\\ \hspace{2em} m^2 - 4 = 0\\ \hspace{2em}(m - 2)(m + 2) = 0\\ \hspace{2em} m = \pm 2 \end{array}\end{equation} したがって,求める接線の方程式は \begin{equation} y = 2x,\quad y = -2x + 4 \end{equation} となります

練習問題

放物線 \(y = -x^2 + 2x\) の接線について考えます

  1. \((2,\ 1)\) から引いた接線の方程式を求めましょう
  2. この関数のグラフ上に2点 \(\mbox{A}(1,\ 1),\ \mbox{B}(3,\ -3)\) をとったとき,直線 \(\mbox{AB}\) と平行な接線の方程式を求めましょう

解答 隠す


最終更新日時: 2021年 07月 17日(土曜日) 14:46