対称式

前回の練習問題に \(\alpha^5 + \beta^5\) の値を求める問いがありました

中には \(\alpha + \beta\) と \(\alpha\beta\) で表そうとした人がいるのではないでしょうか？
ある意味鉄則ですから・・・

ただ，5次式だと形が複雑になるので，まず割り算をしたのです

今日のお題は，まさに \(\alpha + \beta\) と \(\alpha\beta\) 或いは \(x + y\) と \(xy\) のお話しです

対称式

\begin{equation} \alpha^5 + \beta^5,\quad x^3 + y^3,\quad x + y,\quad xy \end{equation} といった式には，共通した特徴があります

まず，式に含まれる文字が２つ

そして，ここが重要です・・・２つの文字を入れ換えても，式が変わりません

つまり，\(x^3 + y^3\) も \(y^3 + x^3\) も同じ式で，上の式にはすべて同じことが成り立っています

このような式を 対称式 といいます

その中でも \(x + y\) と \(xy\) を 基本対称式 とよんで，対称式には次の重要な性質があります

どういうことかと言うと，例えば \begin{equation}x^2 + y^2 = (x + y)^2- 2xy\end{equation} というように，基本対称式だけを使った式にすることができるのです

お題の　\(x^3 + y^3\)　も対称式だから，同じことができるはずですね，やってみましょう

\(x^3 + y^3\)　を見ると，因数分解をしたくなります，それが人情というものです（どういう人情？） \begin{equation} x^3 + y^3 = (x + y)(x^2- xy + y^2) \end{equation} \(x^2 + y^2 = (x + y)^2- 2xy\) でしたから \begin{equation} \begin{array}{l} x^3 + y^3 \\[2px] = (x + y)\{(x + y)^2- 2xy- xy\} \\[2px] = (x + y)\{(x + y)^2- 3xy\} \end{array}\end{equation} これでも OK ですが・・・もう少し計算を進めてみると \begin{equation} x^3 + y^3 = (x + y)^3- 3xy(x + y) \end{equation} そうすると，このような考え方もできそうです \begin{equation} \begin{array}{l} x^3 + y^3 \\ = (x + y)^3- (3x^2y + 3xy^2) \\ = (x + y)^3- 3xy(x + y) \end{array} \end{equation} こちらの方がスッキリしています

ところで，このことが何の役に立つのでしょう・・・実は大いに役立つのです \begin{equation} x = \sqrt{5} + \sqrt{3},\quad y = \sqrt{5} - \sqrt{3} \end{equation} ということは \begin{equation} x + y = 2\sqrt{5},\quad xy = 5 - 3 = 2\end{equation} だから \begin{equation} x^3 + y^3 \begin{array}[t]{l} = (x + y)^3- 3xy(x + y) \\[2px] = (2\sqrt{5})^2- 3\cdot 2\cdot 2\sqrt{5} \\[2px] = 40\sqrt{5}- 12\sqrt{5} \\[2px] = 28\sqrt{5} \end{array}\end{equation} まぁ，この程度なら，３乗の計算をしてもそれほど大変じゃないかも知れません（私は，必ず間違えるからやらりません笑）

\(x^4 + y^4\)　の値，これも求めましょう \begin{equation} x^4 + y^4 \begin{array}[t]{l} = (x^2 + y^2)^2- 2x^2y^2 \\[2px] = \{(x + y)^2- 2xy\}^2 - 2(xy)^2 \\[2px] = \{(2\sqrt{5})^2 - 2\cdot 2\}^2 - 2\cdot 2^2 \\[2px] = 16^2 - 8 \\[2px] = 248\end{array}\end{equation} こうなると「ありがたやありがたや」と感じますでしょう？

対称式と２次方程式の解と係数の関係

次は，このようなお話しです

\(x\) の２次方程式 \(x^2 + x + 1 = 0\) の２つの解を \(\alpha\) と \(\beta\) とするとき \begin{equation} \label{quad} \alpha^3 + \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 + \beta^3 \end{equation} の値を求めましょう

\((\ref{quad})\) は対称式なので基本対称式 \(\alpha + \beta\) と \(\alpha\beta\) で表すことができます

\(\alpha + \beta\) と \(\alpha\beta\) の値は，解と係数の関係から \begin{equation}\alpha + \beta = -1,\quad \alpha\beta = 1\end{equation} \begin{equation}(\ref{quad}) \begin{array}[t]{l} = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) + \alpha\beta(\alpha + \beta) \\[2px] = (\alpha + \beta)^3 - 2\alpha\beta(\alpha + \beta) \\[2px] = (-1)^3 - 2\cdot 1\cdot (-1) \\[2px] = -1 + 2 \\[2px] = 1 \end{array}\end{equation}

3変数の対称式

\begin{equation} x^2 + y^2 + z^2 \end{equation}

は，\(x\) と \(y\)，\(y\) と \(z\)，\(z\) と \(x\) のどれを入れ換えても式が変わりません

このような式をやはり（３変数の）対称式とよびます

それでは，この場合の基本対称式は？

２変数の基本対称式は \begin{equation}(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\end{equation} 右辺の係数として出てきます，ですから解と係数の関係と絡むのは必然ですね

そこで，\((x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)\) を展開してみましょう \begin{equation} \begin{array}{l} (x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma) \\[2px] = x^3- (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma \end{array}\end{equation} ここで現れた \begin{equation} \alpha + \beta + \gamma,\quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha,\quad \alpha\beta\gamma\end{equation} を基本対称式とよぶのか？と言うと・・・その通りなのです

\(x^2 + y^2 + z^2\)　が基本対称式でどう表されるか，確かめたくなりますよねぇ，それが人情です（どういう？）

取り敢えず，\((x + y + z)^2\) を展開してみましょう \begin{equation} \begin{array}{l}(x + y + z)^2 \\[2px] = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx \end{array}\end{equation} あっ！ できてしまいましたねぇ \begin{equation} \begin{array}{l}x^2 + y^2 + z^2 \\ =(x + y + z)^2- 2(xy + yz + zx)\end{array}\end{equation} ３変数の対称式について，今日は，このくらいに留めておきましょう

いずれ３次方程式を扱ったり，その解と係数の関係も学ばなければならないので，そのときまで取っておくことにします