2020/07/29 線形2階非斉次微分方程式の特殊解

本日のお題

次の微分方程式の特殊解の求め方を教えてください\[\begin{array}{l} (1) \quad y'' + 4y = x\sin x \\[2px] (2) \quad y'' + y = x^2 \sin 2x \end{array}\]未定係数法はどのようにおけば良いかが分からず,定数変化法の積分は途中で分からなくなってしまいましたし,微分演算子はどのように使うかの見当がつきませんでした

はい,承知しました

これは,微分演算子を用いた計算が最も早くできそうです
使う道具は,次の3つです

\[\begin{array}{l} (a)\quad \sin x = Im\left[\,e^{ix}\,\right],\quad \sin 2x = Im\left[\,e^{i2x}\,\right] \\ (b)\quad \displaystyle \frac{1}{f(D)}\left[\,y\,\right] = e^{\alpha x}\,\frac{1}{f(D + \alpha)}\,\left[e^{-\alpha x}\,y\,\right] \\ (c)\quad \displaystyle \frac{1}{1 - D} = 1 + D + D^2 + D^3 + \cdots \end{array}\]

\((a)\) はオイラーの公式
また,\((b)\)こちら に,\((c)\)こちら にそれぞれ解説がありますから,これらの式が理解できな方はご覧ください

それでは解いていきますよぉ \((1)\) からです \begin{eqnarray} y &=& \frac{1}{D^2 + 4}\,\big[\,x\sin x \,\big] \\[2px] &=& Im\left[\frac{1}{D^2 + 4}\,\big[\,x\,e^{ix}\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,e^{ix}\,\frac{1}{(D + i)^2 + 4}\,\big[\,x\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,e^{ix}\,\frac{1}{(D - i)(D + 3i)}\,\big[\,x\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,\frac{e^{ix}}{4i}\left(\frac{1}{D - i} - \frac{1}{D + 3i}\right)\big[\,x\,\big]\right]\\[2px] &=& Im\left[\,\frac{e^{ix}}{4}\left(\frac{1}{1 + iD} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1 - \frac{i}{3}D}\right)\big[\,x\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,\frac{e^{ix}}{4}\left\{(1 - iD) + \frac{1}{3}\left(1 + \frac{i}{3}D\right)\right\}\big[\,x\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,\frac{e^{ix}}{4}\left(\frac{1}{3} - \frac{2i}{9}D\right)\big[\,x\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,\left(\cos x + i\sin x\right)\left(\frac{1}{3}x - \frac{2}{9}i\right)\right] \\[2px] &=& \frac{1}{3}x\sin x - \frac{2}{9}\cos x \end{eqnarray}

続いて \((2)\) です \begin{eqnarray} y &=& \frac{1}{D^2 + 1}\,\big[\,x^2\sin 2x \,\big] \\[2px] &=& Im\left[\frac{1}{D^2 + 1}\,\big[\,x\,e^{i2x}\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,e^{i2x}\,\frac{1}{(D + 2i)^2 + 1}\,\big[\,x^2\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,e^{i2x}\,\frac{1}{(D + i)(D + 3i)}\,\big[\,x^2\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,\frac{e^{i2x}}{2i}\left(\frac{1}{D + i} - \frac{1}{D + 3i}\right)\big[\,x\,\big]\right]\\[2px] &=& Im\left[\,\frac{e^{i2x}}{2}\left(-\frac{1}{1 - iD} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1 - \frac{i}{3}D}\right)\big[\,x\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,\frac{e^{i2x}}{2}\left\{-(1 + iD - D^2) + \frac{1}{3}\left(1 + \frac{i}{3}D - \frac{1}{9}D^2\right)\right\}\big[\,x^2\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\,e^{i2x}\left(-\frac{1}{3} - \frac{4i}{9}D + \frac{26}{27}D^2\right)\big[\,x^2\,\big]\right] \\[2px] &=& Im\left[\left(\cos 2x + i\sin 2x\right)\left(-\frac{1}{3}x^2 +\frac{26}{27} - \frac{8}{9}ix\right)\right] \\[2px] &=& \left(-\frac{1}{3}x^2 + \frac{26}{27}\right)\sin 2x - \frac{8}{9}x\cos 2x \end{eqnarray}

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:36 PM