本日のお題

今日は,整式の割り算の余りについて勉強しましょう

  1. \(x\) の整式 \(P(x)\) について,\(x - 1\) で割った余りが \(7\)\(2x + 1\) で割った余りが \(1\) であるとき,\(2x^2 - x -1\) で割った余りを求めましょう
  2. \(x\) の整式 \(P(x)\) について,\(x^2 + x + 1\) で割った余りが \(-2x\)\(x - 1\) で割った余りが \(1\) であるとき,\(x^3 - 1\) で割った余りを求めましょう

剰余の定理

整式の割り算について,次の定理が成り立ちます

剰余の定理

\(a\) を定数として,\(x\) の整式 \(P(x)\)\(x - a\) で割った余りは \(P(a)\) である

一応,簡単に説明しておきます

証明

1次の整式 \(x - a\) で割った余りは定数ですから,商を \(Q(x)\),余りを \(R\) とおくと,割り算の原理から \begin{equation} P(x) = (x - a)Q(x) + R \end{equation} と書くことができます

ここで,\(x = a\) を代入すると \(P(a) = R\) が得られます


お題を見るとこれだけでは足りなさそうです

例えば,\(2x + 1\) で割った余りが出てきています

これも,同様に考えれば,剰余の定理を以下のように拡張できることが分かりますね

剰余の定理

\(a\,\>b\) を定数として,\(x\) の整式 \(P(x)\)\(ax + b\) で割った余りは \(\displaystyle P\left(-\frac{b}{a}\right)\) になります

剰余の定理を用いて余りを求めます

(1) から参りましょう\(2x^2 - x -1\) は因数分解すると \begin{equation} 2x^2 - x -1 = (2x + 1)(x - 1) \end{equation} そして,これは2次式ですから,割ったときの余りは1次以下の式になります

したがって,商を \(Q(x)\),余りを \(mx + n\) とおくと \begin{equation} P(x) = (2x + 1)(x - 1)Q(x) + mx + n \end{equation} が成り立ちます

さぁ,ここで剰余の定理を使いましょう

\(x - 1\)\(2x + 1\) で割った余りがそれぞれ \(7\)\(1\) ですから \begin{equation}\begin{array}{l} P(1) = m + n = 7 \\ P\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) = -\displaystyle\frac{1}{2}m + n = 1 \end{array}\end{equation} 2式を連立して,\(m\)\(n\) を求めると \begin{equation} m = 4,\quad n=3 \end{equation} よって,求める余りは \(4x + 3\) となります


つづいて (2) です,こちらは一工夫をしたいと思います \begin{equation} x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \end{equation} です

3次式で割った余りは2次以下の式となるので \(lx^2 + mx + n\) と書きたくなるところですが(勿論,これでも解けます),ここで一工夫をして楽をしましょう

\(x^2 + x + 1\) で割った余りが \(-2x\) だということを使えば,余りは \begin{equation} m(x^2 + x + 1) - 2x \end{equation} と書けます・・・少々難しいでしょうか? 式をよく見て理解してください

したがって \begin{equation} P(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1)Q(x) + m(x^2 + x + 1) -2x\end{equation} ここで,\(Q(x)\) \(P(x)\)\(x^3 - 1\) で割ったときの商です

そして,\(x - 1\) で割った余りが \(1\) ですから,剰余の定理を使うと \begin{equation} \begin{array}{l} P(1) = 3m - 2 = 1 \\ \mbox{∴}\quad m = 1 \end{array}\end{equation} よって,求める余りは \begin{equation} 1\cdot(x^2 + x + 1) - 2x = x^2 - x + 1 \end{equation}

分かりましたか?

練習問題

次の問いに答えましょう

  1. \(x\) の整式 \(P(x)\) を, \(x - 1\) で割ると余りが \(4\)\(x + 2\) で割ると余りが \(13\)\(x - 3\) で割ると余りが \(18\) になるとき,\(P(x)\)\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) で割った余りを求めましょう
  2. \(x\) の整式 \(P(x)\) を,\(x^2 + 1\) で割ると余りが \(1\)\(x - 1\) で割ると余りが \(-3\) になるとき,\(P(x)\)\((x^2 + 1)(x - 1)\) で割った余りを求めましょう

解答 隠す

最終更新日時: 2021年 07月 14日(水曜日) 04:23