不定方程式の解

\begin{equation} \label{first} 2x + 3y = 1 \end{equation}

\(ax + by = c\) の形の方程式が整数解をもつためには \(a\) と \(b\) の最大公約数が \(c\) を割り切る ことが条件になります

ここでの証明は割愛いたしますが，例えば，不定方程式 \(2x + 4y = 3\) は，左辺が偶数になるのに対して右辺が奇数ですから，\(x\) と \(y\) がどんな頑張っても整数の範囲では成り立たないことが分かります

ですから，お題のように \(c = 1\) の場合には，この不定方程式が整数解をもつためには \(a\) と \(b\) が互いに素でなくてはならないのです

解き方は，方程式を満たす整数解を１つだけ見つければ解決します

\((\ref{first})\) を満たす \(x\) と \(y\) は直ぐに見つかりますね・・・例えば \((x,\ y) = (-1,\ 1)\) などです \begin{equation} \label{second} 2\cdot(-1) + 3\cdot 1 = 1\end{equation} が成り立って　\((\ref{first}) - (\ref{second})\) を計算しますと \begin{equation} 2(x + 1) + 3(y - 1) = 0 \end{equation} が成り立ち，更に変形をすると \begin{equation} 2(x + 1) = -3(y - 1) \end{equation} となります

この式の両辺は，\(2\) と \(3\) の最小公倍数である \(6\) の倍数でなければなりません

そこで \begin{equation} 2(x + 1) = -3(y - 1) = 6k\quad(k = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \cdots)\end{equation} とおいて \begin{equation} \left\{ \begin{array} & x + 1 = 3k \\ y - 1 = -2k \end{array} \right. \quad (k = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\quad \cdots) \end{equation} したがって \begin{equation}\left\{\begin{array}{l} x = -1 + 3k \\ y = 1 - 2k \end{array}\right.\quad (k = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\quad \cdots)\end{equation}

\begin{equation} xy + 2x - y + 2 = 0 \end{equation}

この形は，因数分解をして積を作ります \begin{equation} \begin{array}{l} xy + 2x - y = -2 \\ x(y + 2) - y - 2 = -2 - 2 \\ x(y + 2) - (y + 2) = -4 \\ (x - 1)(y + 2) = -4 \end{array}\end{equation} \(x - 1\)，\(y + 2\) は整数ですから \begin{equation} (x - 1,\ y + 2) = \begin{array}[t]{l} (4,\ -1),\ (2,\ -2),\ (1,\ -4) \\ (-1,\ 4),\ (-2,\ 2),\ (-4,\ 1) \end{array}\end{equation} したがって \begin{equation} (x,\ y) = \begin{array}[t]{l} (5,\ -3),\ (3,\ -4),\ (2,\ -6) \\ (0,\ 2),\ (-1,\ 0),\ (-3,\ -1)\end{array} \end{equation}

\begin{equation} \frac{1}{x} - \frac{2}{y} = 1 \end{equation}

このような形の問題が出題されることもありますが，同じタイプです
分母を払って，整理をすると \begin{equation} xy + 2x - y = 0 \end{equation} となりますからね!!

\begin{equation} x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + y - 5 = 0 \end{equation}

2. との違いは次数の違いではありません
因数分解して積の形を作れるかどうか？です

２次の項を見ると　\(x^2 - 2xy + 2y^2\) ですから，これは因数分解することができません

そこで，\(x\) について考えることにしましょう \begin{equation} \begin{array}{l} x^2 - 2(y + 1)x + 2y^2 + y - 5 = 0 \\ x = y + 1 \pm \sqrt{(y + 1)^2 - 2y^2 - y + 5} \\ x = y + 1 \pm \sqrt{-y^2 + y + 6} \end{array} \end{equation} \(x\) は整数の前に実数でなければならないので \begin{equation} \begin{array}{l} -y^2 + y + 6 \geqq 0 \\ (y + 2)(y - 3) \leqq 0 \\ \mbox{∴}\quad -2 \leqq y \leqq 3 \\ \mbox{∴}\quad y = -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \end{array} \end{equation} このうち，\(x\) が整数になる組は \((x,\ y) = (-1,\ -2),\ (\pm 2,\ -1),\ (1,\ 2),\ (5,\ 2),\ (4,\ 3)\)

このように解けるので，このタイプはまず判別式を考えることになります

\begin{equation} 2x^2 + xy - y^2 - 3x + 3y - 5 = 0 \end{equation}

この方程式の整数解はどうでしょうか？
\(x\) の２次方程式と考えて判別式をとると \begin{equation} D \begin{array}[t]{l} = (y - 3)^2 - 8(-y^2 +; 3y - 5) \\ = 9y^2 - 30y + 49 \\ = (3y - 5)^2 + 24 \end{array} \end{equation} となるので，定数項の加減で因数分解することができると分かります

\(24\) が消えてなくなれば宜しいので，両辺に \(3\) を加えて \begin{equation} 2x^2 + xy - y^2 - 3x + 3y - 2 = 3 \end{equation} としてやれば，左辺が因数分解できて，タイプとしては 2. になってしまいます

まぁ，このように \(x\)についても \(y\) についても２次という２次式は，整数解が簡単に求められる場合ばかりでなく，試験問題を作ろうとすると作為的になってしまいます
判別式をとってみると，作問の意図が見えてくることが多いのですね
数学の本質からは外れてしまいましたが f＾＾;