三角比の相互関係

三角比・三角関数が得意ではないという高校生の皆さんが沢山いらして，その理由の一つが公式の多さにあるようです

ところが，それらの公式は互いに関連し合っているものが多く，一つ一つを単独で覚えようとすると確かに大変であっても，公式同士の関連を押さえて覚えればそれほど大変なことではありません

今日は，手始めに 三角比の相互関係 を考えてみましょう

すべては定義から始まる

まずは，前回の練習問題の解答から復習です \[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} \sin(90° - \theta) = \cos\theta \\ \cos(90° - \theta) = \sin\theta \\ \tan(90° - \theta) = \displaystyle \frac{1}{\tan\theta} \end{array}\right.\\[4px] \left\{\begin{array}{l} \sin(90° + \theta) = \cos\theta \\ \cos(90° + \theta) = -\sin\theta \\ \tan(90° + \theta) = \displaystyle -\frac{1}{\tan\theta} \end{array}\right.\\[4px] \left\{\begin{array}{l} \sin(180° - \theta) = \sin\theta \\ \cos(180° - \theta) = -\cos\theta \\ \tan(180° - \theta) = -\tan\theta \end{array}\right. \end{array}\]

このことは，三角比の定義

点 \((1,\>0)\) を \(\mbox{A}\) とし，単位円周上に点 \(\mbox{P}\,(x_0,\>y_0)\) をとって \(\angle\mbox{AOP} = \theta\) とすると

\(\sin\theta = y_0 ,\quad \cos\theta = y_0 ,\quad \tan\theta = \displaystyle\frac{y_0}{x_0}\)

が分かっていれば，直ぐに求めることができます

上の関係を調べるために，下のアプレットも使いました
このくらいの動きは，一度見れば頭の中に再現できますね

ですから，これらの式を大袈裟に「公式」などと考えて丸暗記するのは馬鹿らしいのです
定義から直ちに導き出せます

本日のお題の相互関係も同じです

三角比の相互関係

なぜ成り立つかは簡単に分かります

上の定義において，点 \(\mbox{P}\left(x_0,\ y_0\right)\) は原点を中心とする単位円周上にあるので \[x_0 ^2 + y_0 ^2 = 1\] が成り立っています

この式に，定義である \(x_0 = \cos\theta\)，\(y_0 = \sin\theta\) を代入すると \[\cos^2 x + \sin^2 x = 1\] が得られ，一方 \[\displaystyle \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\] は定義から明らかです

ねっ！　相互関係も定義から直ぐに出てきますでしょ？

もっとも，この式は，頻繁に使うことになるから，覚えようとしなくても自然に覚えてしまいますよね ＾＾

さて，この関係はどのように使うかと言いますと・・・

１つが分かれば他の２つも・・・

お題の１ (1) は，\(\displaystyle \sin\theta = \frac{3}{5}\) から \(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) を求めようという問題です

以前に，書いたことがあるように，未知数と条件の数は問題を解く上にとても大切だ・・・と私は考えています

ここでは，\(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) を未知数と考えれば，必要な条件は２つ・・・そして，相互関係はちょうど２つです!!

そうなると，もう説明する必要はありませんね

しかし，まぁ，念のため・・・ \(\displaystyle \sin\theta = \frac{3}{5}\) と \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) より \[\begin{array}{c} \displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1 \\ \displaystyle \cos^2\theta = \frac{16}{25} \\ \displaystyle \cos\theta = \pm\frac{4}{5}\end{array}\] このところは少々気をつけましょう・・・\(0° \le \theta \le 180°\) の範囲に!!

\(\cos\theta\) の値は２通り考えらますね

\(\theta\) が第1象限のとき

\(\cos\theta > 0\) だから　\(\cos\theta = \displaystyle\frac{4}{5}\)

\(\tan\theta = \displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{3}{4}\)

\(\theta\) が第2象限のとき

\(\cos\theta < 0\) だから　\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{4}{5}\)

\(\tan\theta = \displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = -\frac{3}{4}\)

以上より

\(\theta\) が第1象限の角のとき　\(\left\{\begin{array}{l} \cos\theta = \displaystyle\frac{4}{5} \\ \tan\theta = \displaystyle\frac{3}{4} \end{array}\right.\)

\(\theta\) が第2象限の角のとき　\(\left\{\begin{array}{l} \cos\theta = -\displaystyle\frac{4}{5} \\ \tan\theta = -\displaystyle\frac{3}{4} \end{array}\right.\)

(2)　\(\tan\theta\) から \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を求める問題

相互関係の公式を少し変形しておく必要があります

どのように変形するのかというと・・・

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) の両辺を \(\cos^2\theta\) で割算します \[\begin{array}{l} \displaystyle \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}\\[2px] \displaystyle \tan^2\theta + 1 = \displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\end{array}\] そうすると，\(\tan\theta = -2\) を上の式に代入して \[\begin{array}{l} (-2)^2 + 1 = \displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta} \\[2px] \displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta} = 5 \\[2px] \cos^2\theta = \displaystyle\frac{1}{5} \end{array}\] \(\theta\) は第2象限の角だから，\(\cos\theta < 0\)

よって　\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta\) より　\(\displaystyle \sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}\)

以上より　\(\sin\theta = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\)

図を描いても解けます

「図を描いても」と言うより，図を描けば解けてしまうのです

(1)

ネッ！　この図を見れば分かりますでしょ？

直角三角形の辺の長さに ( ) が付いているのは，実際の長さでなく比なので，それを区別するためです

(2)

置き換えて２次関数に

\(f(\theta) = 1 + \cos\theta \,- \sin^2\theta\) の最大値と最小値です

\(\sin\theta\) の2乗があるので，置き換えて2次関数にしたいところ

ところが，\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) が混在していますね

そこで，\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) が活躍するのです

\(\sin^2\theta = 1 \,- \cos^2\theta\) を代入して \[f(\theta) = \cos^2\theta + \cos\theta\] となって，ここで \(\cos\theta\) を置き換えれば２次関数ですね

\(\cos\theta = x\) とおくと　\(-1 \leqq x \leqq 1\)（これが重要！） \[\begin{array}{l} f(x) = x^2 + x \\ \displaystyle \qquad\, = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 -\frac{1}{4} \end{array} \] 最大値・最小値と言えばグラフですから，グラフを描きましょう

グラフから，最大値\(= 2\)，最小値\(= -\displaystyle\frac{1}{4}\) は直ぐ分かります

残りは，それらの値を与える \(x\) の値です

最大値を与えるのは \(x = 1\) ですから \(\cos\theta = 1\)，よって \(\theta = 0°\)

最小値を与えるのは \(x = -\displaystyle\frac{1}{2}\) ですから \(\cos\theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)，よって \(\theta = 120°\)

以上より

\(x = 0°\) のとき，最大値 \(= 2\)

\(x = 120°\) のとき，最小値 \(= -\displaystyle\frac{1}{4}\)