三角形の面積

今日のお題は三角形の面積です

高等学校の数学まででは，重要なテーマですよね

高等学校の数学では，三角比とベクトルの単元でよく取り扱われて，大学入試の問題などにもチョイチョイ出てきます

基本になるのは勿論

小学校の算数からずっと使ってきた，これ です

三角形の面積の公式に三角比を使うと・・・

上の図は，\(\triangle\mbox{ABC}\) において，頂点 \(\mbox{A}\) から辺 \(\mbox{BC}\) に下ろした垂線の足を \(\mbox{H}\) とおいたものです

このとき，\(\triangle\mbox{ABC}\) の面積を \(S\) とすると，と～ぜん　\(\displaystyle S = \frac{1}{2}\mbox{BC}\cdot\mbox{AH}\)

ここで，直角三角形 \(\mbox{ABH}\) を考えると \[\mbox{AH} = \mbox{AB}\sin B\] ということは，\(\displaystyle S = \frac{1}{2}\mbox{BC}\cdot\mbox{AB}\cdot\sin B\) ですね

\(\mbox{BC} = a\)，\(\mbox{CA} = b\)，\(\mbox{AB} = c\) と書く約束だったから，この式は　\(S = \displaystyle\frac{1}{2}ca\sin B\)　とすることができます

ここまでのことは，\(\angle\mbox{B}\) の周りで考えていましたが，同じことが \(\angle\mbox{C}\) の周りでも \(\angle\mbox{A}\) の周りでも言えますから

この式が成り立ちます

三角形の３辺の長さから面積を求めましょう

お題の三角形については \[a = 7,\quad b = 5,\quad c = 8\] が，分かっているということです

どの角の大きさも分っていません

んっ！　待ってください・・・この三角形は，どこかで見たことがあるような気がします

そうですね，前回のお題にあった三角形です 前回のお題の (2) が「\(a = 7\)，\(b = 5\)，\(c = 8\) のとき，\(A\) の大きさは？」でした

３辺の大きさが分かっていれば，角の大きさが分かるのでしたね

この場合は \(A = 60°\) です

そうしますと，　\(\triangle\mbox{ABC} = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin 60° = 10\sqrt{3}\)

この解答って，たまたま \(A\) を求めたから分かったことじゃない？　\(B\) や \(C\) を求めたときはどうするの？　そもそも，いつでも角度が分かるとは限らない

という心配をする向きもあると思います

しかしながら，それは無用な心配です

\(B\) からスタートした場合は \[\begin{array}{rcl} \cos B &=& \displaystyle\frac{c^2 + a^2 \,- b^2}{2ca} \\ &=& \displaystyle\frac{8^2 + 7^2 \,- 5^2}{2\cdot 8\cdot 7} \\ &=& \displaystyle \frac{11}{14} \end{array}\] \[\(\sin^2B = 1 - \cos^2B = \displaystyle\frac{75}{14^2}\] だから \[\sin B = \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{14}\] したがって　\(\begin{array}[t]{rcl} \triangle\mbox{ABC} &=& \displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\cdot \frac{5\sqrt{3}}{14} \\ &=& 10\sqrt{3} \end{array}\)

ねっ！　これで求められました

この計算の過程は，文字を用いて行うこともできます

計算すると，うまい具合に因数分ができてしまって，その結果が「ヘロンの公式」というものなります

ところが，私は，問題を解くときに ヘロンの公式 を使ったことがありません

覚えなければならないことはできるだけ少なく・・・が私の主義なので，この公式は扱わないことにします

面積の公式から正弦定理に

面積の公式から正弦定理を導くことができます・・・分かりますか？

面積の公式の各辺に \(\displaystyle\frac{2}{abc}\) を掛けるのです \[\displaystyle \frac{2S}{abc} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\] ほうら，分母と分子がひっくり返ってはいるものの，問題はありません

何故なら，正弦定理は比例式だからです

いずれにしても \[\sin A:\sin B:\sin C = a:b:c\] が成り立っていることには変わりがありません

それどころか \[\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\] と比較すれば，次が成り立つことも分かります \[\displaystyle \frac{2S}{abc} = \frac{1}{2R},\quad \frac{abc}{2S} = 2R\] この関係を使えば，三角形の３辺の大きさと面積から外接円の半径が求められます

これは練習問題にしましょう

外接円の半径が出てきたから，内接円の半径もついでに問いにします