本日のお題

\(\triangle\mbox{ABC}\) において \(a = 7\)\(b = 5\)\(c = 8\) のとき,\(\triangle\mbox{ABC}\) の面積を求めましょう

今日のお題は三角形の面積です

高等学校の数学まででは,重要なテーマですよね

高等学校の数学では,三角比とベクトルの単元でよく取り扱われて,大学入試の問題などにもチョイチョイ出てきます

基本になるのは勿論

三角形の面積 = 底辺の長さ × 高さ ÷ 2

小学校の算数からずっと使ってきた,これ です


三角形の面積の公式に三角比を使うと・・・

上の図は,\(\triangle\mbox{ABC}\) において,頂点 \(\mbox{A}\) から辺 \(\mbox{BC}\) に下ろした垂線の足を \(\mbox{H}\) とおいたものです

このとき,\(\triangle\mbox{ABC}\) の面積を \(S\) とすると,と~ぜん \(\displaystyle S = \frac{1}{2}\mbox{BC}\cdot\mbox{AH}\)

ここで,直角三角形 \(\mbox{ABH}\) を考えると \[\mbox{AH} = \mbox{AB}\sin B\] ということは,\(\displaystyle S = \frac{1}{2}\mbox{BC}\cdot\mbox{AB}\cdot\sin B\) ですね


\(\mbox{BC} = a\)\(\mbox{CA} = b\)\(\mbox{AB} = c\) と書く約束だったから,この式は \(S = \displaystyle\frac{1}{2}ca\sin B\) とすることができます

ここまでのことは,\(\angle\mbox{B}\) の周りで考えていましたが,同じことが \(\angle\mbox{C}\) の周りでも \(\angle\mbox{A}\) の周りでも言えますから

\[\displaystyle S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\]

この式が成り立ちます


三角形の3辺の長さから面積を求めましょう

お題の三角形については \[a = 7,\quad b = 5,\quad c = 8\] が,分かっているということです

どの角の大きさも分っていません

んっ! 待ってください・・・この三角形は,どこかで見たことがあるような気がします

そうですね,前回のお題にあった三角形です 前回のお題の (2) が「\(a = 7\)\(b = 5\)\(c = 8\) のとき,\(A\) の大きさは?」でした

3辺の大きさが分かっていれば,角の大きさが分かるのでしたね

この場合は \(A = 60°\) です

そうしますと, \(\triangle\mbox{ABC} = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin 60° = 10\sqrt{3}\)


この解答って,たまたま \(A\) を求めたから分かったことじゃない? \(B\)\(C\) を求めたときはどうするの? そもそも,いつでも角度が分かるとは限らない

という心配をする向きもあると思います

しかしながら,それは無用な心配です

\(B\) からスタートした場合は \[\begin{array}{rcl} \cos B &=& \displaystyle\frac{c^2 + a^2 \,- b^2}{2ca} \\ &=& \displaystyle\frac{8^2 + 7^2 \,- 5^2}{2\cdot 8\cdot 7} \\ &=& \displaystyle \frac{11}{14} \end{array}\] \[\(\sin^2B = 1 - \cos^2B = \displaystyle\frac{75}{14^2}\] だから \[\sin B = \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{14}\] したがって \(\begin{array}[t]{rcl} \triangle\mbox{ABC} &=& \displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\cdot \frac{5\sqrt{3}}{14} \\ &=& 10\sqrt{3} \end{array}\)

ねっ! これで求められました


この計算の過程は,文字を用いて行うこともできます

計算すると,うまい具合に因数分ができてしまって,その結果が「ヘロンの公式」というものなります

ところが,私は,問題を解くときに ヘロンの公式 を使ったことがありません

覚えなければならないことはできるだけ少なく・・・が私の主義なので,この公式は扱わないことにします


面積の公式から正弦定理に

面積の公式から正弦定理を導くことができます・・・分かりますか?

面積の公式の各辺に \(\displaystyle\frac{2}{abc}\) を掛けるのです \[\displaystyle \frac{2S}{abc} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\] ほうら,分母と分子がひっくり返ってはいるものの,問題はありません

何故なら,正弦定理は比例式だからです

いずれにしても \[\sin A:\sin B:\sin C = a:b:c\] が成り立っていることには変わりがありません

それどころか \[\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\] と比較すれば,次が成り立つことも分かります \[\displaystyle \frac{2S}{abc} = \frac{1}{2R},\quad \frac{abc}{2S} = 2R\] この関係を使えば,三角形の3辺の大きさと面積から外接円の半径が求められます

これは練習問題にしましょう

外接円の半径が出てきたから,内接円の半径もついでに問いにします

練習問題

次のことを考えましょう

(1) \(\triangle\mbox{ABC}\) において,\(a\)\(b\)\(c\) の値が分かっていて,面積が \(S\) であるとき,外接円の半径 \(R\) の値は? 内接円の半径 \(r\) の値は?

(2) \(\triangle\mbox{ABC}\) において,\(a = 1\)\(b = \sqrt{2}\)\(c = 2\) であるとき,\(\triangle\mbox{ABC}\) の面積は? 外接円の半径 \(R\) の値は? 内接円の半径 \(r\) の値は?

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最終更新日時: 2021年 07月 19日(月曜日) 00:06