三角形の形状

この等式を見て，三角形がどんな形をしているかを考えるという問いです

三角形がどのような形と言っても，初めて見た方には，どのように答えるべきかが分からないかもしれません

数学に限らず，学校で勉強することには，このようなことがよくあるのです

つまり，このような問題にはこのようにに答えるという，出題者と解答者に暗黙の了解があります

何か，問題を解くための問題という気がして，あまり良い気持がしません

ただ，この辺りの問いは正弦定理・余弦定理の応用として鉄板問題なので，扱っておくことにします

答え方は，直角三角形とか二等辺三角形とか，その等式から読み取れることを答えることになります

三平方の定理

前半２つの問題は，この手の問題を解くためのウォーミングアップとでも思ってください

(1)　は簡単です・・・馬鹿にするなと言われそ～ですね f＾＾;

\(C = 90°\) の直角三角形です

直角三角形の場合には，直角になっている角を示す必要があり・・・これが暗黙の了解事項です ＾＾

(2)は，もう少し複雑　\(a^2 - ab + b^2 = c^2\)

複雑と言っても，三平方の定理に近い形をした等式です

ここで，思い出したいのが，余弦定理は三平方の定理の親戚であるということです

そうすると，余弦定理 \(c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos C\) と比較することができます

\(2\cos C = 1\)　∴　\(\cos C = \displaystyle\frac{1}{2}\)

ということで，\(C = 60°\) の三角形です

正弦定理は比例式

次の (3) は，辺の長さと角の \(\sin\) が混在しています \[a\sin A + b\sin B = c\sin C\] ただし，私的には，この式を見た瞬間にどんな三角形をかを答えてほしいと考えます

何故かと言いますと \(\sin^2A + \sin^2B = \sin^2C\) のような式が成り立つとき，この \(\triangle\mbox{ABC}\) は直角三角形であるという話しはしました

正弦定理は　\(\sin A:\sin B:\sin C = a:b:c\)　つまり比例式なのです

ですから　\(\left\{\begin{array}{l} a\sin A + b\sin B = c\sin C \\ \sin^2A + \sin^2B = \sin^2C \end{array}\right.\)　はどちらも　\(a^2 + b^2 = c^2\)　と同じなのです

解答に書くときには，このおうな形になります

辺の大きさと角の大きさが混在していると分かりにくいので，どちらか一方の関係式にしてしまいます
三角比しか学習していない段階であれば，辺 \(a\)，\(b\)，\(c\) の関係にすることをお薦めします
三角関数の加法定理から「和→積」「積→和」の公式を自由自在に操れるようになれば，角 \(A\)，\(B\)，\(C\) の関係に持ち込む方が簡単な問いもあります

余弦定理で辺の関係に

(4)　\(a\cos C = c\cos A\)