三角関数の加法定理

加法定理は，高校で学ぶ三角関数の中心的な内容ですね

教科書によく載っている証明からイッてみましょう!!

いま，原点を中心とする単位円周上に２点\[\begin{array}{l} \mbox{A}\left(\cos\alpha,\ \sin\beta\right) \\ \mbox{B}\left(\cos(-\beta),\ \sin(-\beta)\right) = \left(\cos\beta,\ -\sin\beta\right) \end{array}\]をとることにします

そうすると，下の図のような状況になります

線分 \(\mbox{AB}\) の長さを２通りの方法で表して，それらを比較していきます

まず，２点間の距離だから\begin{equation} \label{first}\mbox{AB}^2\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \left(\cos\alpha - \cos\beta\right)^2 + \left(\sin\alpha + \sin\beta\right)^2 \\ \displaystyle = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta \\ = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\beta + \sin^2\beta -2\left(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\right) \\ = 2 - 2\left(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\right) \end{array}\end{equation}

次に，\(\triangle\mbox{OAB}\) に余弦定理を用いて，\(\mbox{AB}^2\) を求めます

上の図では，\(\angle\mbox{AOB} = \alpha + \beta\) です

ただし，\(\alpha\) と \(\beta\) は第１象限の角に限定できないので，いつもいつも上の図のようになるとは限りません

例えば，下の図のようになる場合もあって，このときには，\(\angle\mbox{AOB} = \alpha + \beta\) とは言えません

しかしながら，\(\cos\) には\begin{equation}\cos(2n\pi - \theta) = \cos\theta\end{equation} という性質があったので，\(\alpha\) と \(\beta\) がどのような値であっても\begin{equation}\cos\angle\mbox{AOB} = \cos(\alpha + \beta)\end{equation}は成り立ちます

したがって，\(\mbox{OA} = \mbox{OB} = 1\) も考え合わせて\begin{equation} \label{second} \mbox{AB}^2\begin{array}[t]{l} = 1^2 + 1^2 - 2\cdot 1\cdot 1\cdot\cos(\alpha + \beta) \\ = 2 - 2\cos(\alpha + \beta)\end{array}\end{equation} 上の２つの式 \((\ref{first})\) と \((\ref{second})\) を比べれば\begin{equation}\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\end{equation} の成り立つことが分かります

残りの式は，式変形で導出しましょう

\[\cos(\alpha - \beta)\begin{array}[t]{l} = \cos\{\alpha + (-\beta)\} \\ = \cos\alpha\cos(-\beta) - \sin\alpha\sin(-\beta) \\ = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha(-\sin\beta) \\ = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \end{array}\]

\[\cos(\alpha + \beta)\begin{array}[t]{l} = \displaystyle \cos\left\{\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right\} \\ = \displaystyle \sin\left\{\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right\} \\ \displaystyle = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos\beta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\beta \\ = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\beta \end{array}\]

\[\sin(\alpha - \beta)\begin{array}[t]{l} = \sin\{\alpha + (-\beta)\} \\ = \sin\alpha\cos(-\beta) + \cos\alpha\sin(-\beta) \\ = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \end{array}\]

\[\tan(\alpha + \beta)\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \\ \displaystyle = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta} \\[4px] \displaystyle = \frac{\displaystyle\frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\displaystyle\frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} \\[4px] \displaystyle = \frac{\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\displaystyle 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} \\[4px] \displaystyle = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \end{array}\]

\[\tan(\alpha - \beta)\begin{array}[t]{l} = \tan\{\alpha + (-\beta)\} \\ \displaystyle = \frac{\tan\alpha + \tan(-\beta)}{1 - \tan\alpha\tan(-\beta)} \\ \displaystyle = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \end{array}\]

以上で終了!!

結構覚えにくい定理かもしれないけれど，自分で証明できるようになれば，自然と身についてしまうものです
「咲いたコスモス，コスモス咲いた」などという語呂合わせもありますね

お題１．の解答

\(\displaystyle \frac{5}{12}\pi\) は \(75^{\circ} (30^{\circ} + 45^{\circ})\) のことですから\[\sin\frac{5}{12}\pi \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \sin\left(\frac{1}{6}\pi + \frac{1}{4}\pi\right) \\ \displaystyle = \sin\frac{1}{6}\pi\cos\frac{1}{4}\pi + \cos\frac{1}{6}\pi \sin\frac{1}{4}\pi \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \displaystyle = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{array}\]

ついでに，\(\displaystyle \cos\frac{5}{12}\pi\) と \(\displaystyle \tan\frac{5}{12}\pi\) の値も求めておきましょう\[\cos\frac{5}{12}\pi\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \cos\left(\frac{1}{6}\pi + \frac{1}{4}\pi\right) \\ \displaystyle = \cos\frac{1}{6}\pi\cos\frac{1}{4}\pi - \sin\frac{1}{6}\pi\sin\frac{1}{4}\pi \\ \displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \displaystyle = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}\] \[\tan\frac{5}{12}\pi\begin{array}[t] \displaystyle = \frac{\displaystyle \tan\frac{1}{6}\pi + \tan\frac{1}{4}\pi}{\displaystyle 1 - \tan\frac{1}{6}\pi \tan\frac{1}{4}\pi} \\ \displaystyle = \frac{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{\displaystyle 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ \displaystyle = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \\ \displaystyle = 2 + \sqrt{3} \end{array}\]

お題２．の解答

これも加法定理を使えば簡単です \[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\] だから，\(\cos\alpha\) と　\(\sin\beta\) の値が分かればお終いです

\(\sin\) と \(\cos\) の相互関係を使うのであれば，図を描いても求めることができました

図より\[\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]したがって，\[\sin(\alpha + \beta)\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} \\ \displaystyle = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6} \end{array}\]

さて，加法定理の証明だけでしたけれど，今日はこのくらいにしておきましょう

加法定理がどのように役立っていくかは，日を改めてお話しすることといたします