本日のお題

\(1\quad\)関数 \(y = \cos 2x + \sin x\) の最大値・最小値を求めましょう

\(2\quad \sin 18^{\circ}\) の値を求めましょう

前回の 練習問題 から

さて前回,問題を2つほど積み残しておりました

\(\alpha\)\(\beta\) がそれぞれ第2象限と第3象限の角であり,\[\tan\alpha = -2,\quad \cos\beta = -\frac{2}{3}\]であるとき,次の値を求めましょう

\((2)\quad\cos(2\alpha + \beta)\)

\((3)\quad\tan 3\beta\)

\((2)\) から参りましょう・・・加法定理を使って\[\cos(2\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cos\beta - \sin 2\alpha \sin\beta\]ですから,\(\sin 2\alpha\)\(\cos 2\alpha\) の値が分かれば解決します\[\begin{array}{l} \sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) \\ \cos 2\alpha = \cos(\alpha + \alpha) \end{array}\]と考えて加法定理を使えば\[\begin{array}{rl} \sin 2\alpha &\!\!\!\! = 2\sin\alpha\cos\alpha \\ &\!\!\!\! = \displaystyle 2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ &\!\!\!\! = \displaystyle -\frac{4}{5} \\ \displaystyle \cos 2\alpha &\!\!\!\! = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \\ &\!\!\!\! = \displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ &\!\!\!\! = \displaystyle -\frac{3}{5} \end{array}\]となって,\[\begin{array}{rl}\cos(2\alpha + \beta)\!\!\!\! & = \cos 2\alpha \cos\beta - \sin 2\alpha \sin\beta \\ &= \displaystyle -\frac{3}{5}\left(-\frac{2}{3}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \\ & \displaystyle = -\frac{6 + 4\sqrt{5}}{15} \end{array}\](3) も同様に\[\begin{array}{rl} \tan 2\beta\!\!\!\! & = \tan(\beta + \beta) \\ & \displaystyle = \frac{2\tan\beta}{1 - \tan^2\beta} \\ &\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{\displaystyle 1 - \frac{5}{4}} \\ & = -4\sqrt{5} \\[4px] ∴\ \tan 3\beta \!\!\! & = \displaystyle \tan\left(2\beta + \beta\right) \\ & \displaystyle = \frac{\tan 2\beta + \tan \beta}{1 - \tan 2\beta \cdot \tan \beta} \\ & \displaystyle = \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}{\displaystyle 1 - \frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\left(-4\sqrt{5}\right)} \\ & \displaystyle = -\frac{7\sqrt{5}}{22} \end{array}\]できていましたか?


2倍角の公式

さて,上の計算の過程で\[\sin 2\alpha ,\ \cos 2\alpha ,\ \tan 2\beta\]\(\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\tan\beta\) で表しました

これを 2倍角の公式 といいます

この中で \(\cos\) の2倍角の公式は,特に注意をしておきたいものです

\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\]

この式を見ると,\(\cos\) にも \(\sin\) にも2乗がついておりまして・・・ということは\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]を使えるという訳です

それでは,まとめましょう

2倍角の公式

\[\left\{\begin{array}{rl} \sin 2\alpha \!\!\!\! & = 2\sin\alpha\cos\alpha \\[4px] \cos 2\alpha \!\!\!\! & = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \\ & = 1 - 2\sin^2\alpha \\ & = 2\cos^2\alpha - 1 \\[4px] \tan 2\alpha \!\!\!\! & = \displaystyle \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2\alpha} \end{array}\right.\]


この公式は,どのようなときに,どのように使えるか? というと・・・その一例が,お題の \(1\) です\[y = \cos 2x + \sin x\]の最大値・最小値を求めようという問いです

2倍角の公式を用いて \(\cos 2x\) を変形したくなりますね・・・そのとき,\(\cos 2x\)\(\sin x\) にも \(\cos x\) にも直すことができるという,とても便利なものなのです

この関数には \(\sin x\) が含まれていますので,\(\sin x\) に揃えた上で,\(\sin x = t\) という置き換えをします

置き換えをしたら,置き換えた変数の範囲を押さえておくことが鉄則です\[-1 \leqq t \leqq 1\]であり,この範囲で題意の関数の最大値と最小値を求めます\[\begin{array}{rl} y \!\!\!\! & = \cos^2 x + \sin x \\ & = (1 - 2\sin^2 x) + \sin x \\ & = -2t^2 + t + 1 \\ & = \displaystyle -2\left(t - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{9}{8} \end{array}\]

\(t\)

\(y\)

\(\displaystyle t = \frac{1}{4}\) すなわち \(\sin x = \displaystyle\frac{1}{4}\) のとき 最大値 \(\displaystyle \frac{9}{8}\)
\(t = -1\) すなわち \(\sin x = -1\) のとき 最小値 \(-2\)


2倍角の公式の使い方の一例を示しました

同じような変形をする方程式や不等式もイメージできると思います


3倍角の公式

練習問題の \((3)\) を解くときには\[\tan 3\beta = \tan(2\beta + \beta)\]として,\(\tan 3\beta\) の値を求めました

\(\sin 3\alpha\)\(\cos 3\alpha\) についても同様の変形ができまして,これがなかなか綺麗な式になります

求める過程を示しますから,見ていてください\[\begin{array}{rl} \sin 3\alpha\!\!\!\! &= \sin(2\alpha + \alpha) \\ &= \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha \\ &= 2\sin \alpha \cos^2 \alpha + (1 - 2\sin^2 \alpha)\sin \alpha \\ &= 2\sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) + \sin \alpha - 2\sin^3 \alpha \\ &= 2\sin \alpha - 2\sin^3 \alpha + \sin \alpha - 2\sin^3 \alpha \\ &= 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha \\[8px] \cos 3\alpha\!\!\!\! &= \cos(2\alpha + \alpha) \\ &= \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha \\ &= (2\cos^2 \alpha -1)\cos \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos \alpha \\ &= 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2(1 - \cos^2 \alpha)\cos \alpha \\ &= 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\cos \alpha + 2\cos^3 \alpha \\ &= 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha \end{array}\]

これを 3倍角の公式 といいます

3倍角の公式

\[\begin{array}{l} \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha \\ \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha \end{array}\]

さぁ,これで お題の \(2\) が解けるようになりました

\(\sin 18°\) の値

もちろん,どのような角の \(\sin\) の値もが求められるということではありません・・・特別な角だけです

それでは,\(18^{\circ}\) はどのように特別なのでしょう

よ~く見てくださいね,\(180^{\circ}\)\(\displaystyle \frac{1}{10}\) ですから,このことを使います

\(18^{\circ}=\theta\) とおくと,\(5\theta = 90^{\circ}\) です\[\begin{array}{l} 3\theta + 2\theta = 90^{\circ} \\ 3\theta = 90^{\circ} - 2\theta \\ \mbox{∴}\quad \sin 3\theta = \sin(90^{\circ} - 2\theta) \\ \sin 3\theta = \cos 2\theta \\ 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 1 - 2\sin^2\theta \\ 4\sin^3\theta - 2\sin^2\theta -3\sin\theta + 1 = 0 \\ (\sin\theta - 1)(4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1) = 0 \\ 0 < \sin\theta < 1\ \mbox{より}\ \displaystyle \sin\theta = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \end{array}\]

ねぇ!! 求められますでしょ?

練習問題

\(1\quad x\) の方程式 \(\cos 2x - \sin x = 0\) を解きましょう 解答 隠す

\(2\quad x\) の不等式 \(\sin 2x + \sin x < 0\) を解きましょう 解答 隠す

最終更新日時: 2021年 08月 2日(月曜日) 01:58