本日のお題

次の関数の最大値と最小値を求めましょう

\(1\quad y = 2\sin x + 3\cos x\)

\(2\quad y = 2\cos^2 x + 2\sin x\cos x - \sin^2 x\)

コンピュータでグラフを描くと・・・

前回は,加法定理を用いて,関数\[y = \cos 2x + \sin x \tag{1}\]\(\sin x\) で表した後,\(\sin x\ \rightarrow\ t\) の置き換えをして,2次関数\[y = -2t^2 + t + 1\]に帰着させました

こうすることにより,2次関数の最大値・最小値の問題に持ち込むことができます

このような手法は,高等学校で学ぶ数学ではよく使うものであり,大学入試問題を解こうと思えば鉄板です

ところが,グラフを PC に描いてもらってしまいました(Web 上での解説ですから,当たり前ですが・・・笑)

それならば,最初から \((1)\) のグラフを書いちゃえば~,というツッコミをする方はいらっしゃらないでしょうか?

むしろ,そのようにツッコンでいただきたい・・・と私は思います

大学以上ではもっともっと項数の多い三角関数を扱いますし,そうなると手でグラフを描くことはナンセンスになります

試しに,関数 \((1)\) のグラフを描いてみましょう

\(x\)

\(y\)

このようなグラフになり,最大値が \(1\) より少し大きい値,最小値は \(-2\) であるように見えます

実は,敢えて関数 \((1)\) のグラフを描いたことには,意図があります

上のアプレットを用いて,お題の関数のグラフを描いてみてほしいのです\[\left\{\begin{array}{l} y = 2\sin x + 3\cos x \\[2px] y = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x - \sin^2 x \end{array}\right.\]

このアプレットは,グラフの下のテキストボックスに式を入力し,enter キーを押すか Draw ボタンをクリックするかによって,テキストボックスに入力した式の関数のグラフを描くことができるのです
\(\sin x\)\(\cos x\) は,それぞれ「\(\mbox{sin(x)}\)」「\(\mbox{cos(x)}\)」と入力します
また,2乗は「\(\mbox{(sin(x))^2}\)」のように入力します

どうでしょう? 描いてみると驚きませんか?

関数 \((1)\) のグラフとは様子が異なり,どちらの関数のグラフも綺麗な正弦曲線になっているように見えます

果たして,二つの関数のグラフは正弦曲線なのでしょうか?

三角関数の合成

先に結論を申し上げます

二つの関数のグラフは 正弦曲線 です

言い換えると,関数 \(y = a\sin x + b\cos x\) のグラフは,一つの \(\sin\) または \(\cos\) で表すことができ,これを 三角関数の合成 といいます

三角関数の合成

\[\begin{array}{l} a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin\left(x + \varphi\right) \\[2px] \displaystyle a\cos x - b\sin x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos\left(x + \varphi\right) \\[2px] \displaystyle \left(\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\ ,\quad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right) \end{array}\]

証明については,こちらで \(\sin\) の合成を解説しているので,ご覧ください
\(\cos\) の合成も同様に証明することができます

そうしますと\[\begin{array}{l}y = 2\sin x + 3\cos x = \sqrt{13}\sin\left(x + \varphi\right)\\[2px] \displaystyle \left(\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{13}}\ ,\quad \sin\varphi = \frac{3}{\sqrt{13}}\right)\end{array}\]

∴ 最大値が \(\sqrt{13}\), 最小値が \(-\sqrt{13}\)

最大値と最小値を与える \(x\) の値を求める必要がありますが,今日のところはここまでにしておきましょう f^^;


\(\sin\)\(\cos\) の二次式になったら・・・

\[y = 2\cos^2 x + 2\sin x\cos x - \sin^2 x \tag{2}\]

2次式と言ってもどんな二次式でも宜しいという訳ではなく,\(\sin^2 x\)\(\cos^2 x\)\(\sin x\cos x\) からできている式・・・これを \(\sin x\)\(\cos x\) との斉次二次式といいます

先ほどグラフを描いたとおり,この関数も一つの \(\sin\) することができます

俄かには信じがたいところかもしれませんが,合成ができてしまうのです

合成の前に,倍角の公式を使います\[\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \tag{3}\]\(\cos\) の倍角の公式 \(\cos 2x = 2\cos^2 - 1 = 1 - 2\sin^2 x\) を変形して\[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\ ,\quad \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \tag{4}\]\((3)\)\((4)\)\((2)\) に代入し,その上で合成をします\[\begin{array}{rl} y\!\!\!\! &= 2\cos^2 x + 2\sin x\cos x - \sin^2 x \\ &\displaystyle = 2\cdot\frac{1 + \cos 2x}{2} + \sin 2x - \frac{1 - \cos 2x}{2} \\ &\displaystyle = \sin 2x + \frac{3}{2}\cos 2x + \frac{1}{2} \\ &\displaystyle = \sqrt{1 + \frac{9}{4}}\sin(2x + \varphi) + \frac{1}{2} \\ &\displaystyle = \frac{\sqrt{13}}{2}\sin(2x + \varphi) + \frac{1}{2} \\ & \left(\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\varphi = \frac{3}{\sqrt{13}}\right) \end{array}\]したがって, 最大値 \(\displaystyle = \frac{\sqrt{13} + 1}{2}\),最小値 \(\displaystyle = \frac{-\sqrt{13} + 1}{2}\) となります

練習問題

\(0 \leqq x \leqq \pi\) のとき,方程式\[\sin^2 x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x - \cos^2 x = \sqrt{2}\]を解きましょう 解答 隠す

最終更新日時: 2021年 08月 2日(月曜日) 13:46