三角形の内角の二等分線・メネラウスの定理・チェバの定理

2016年度の大学入試センター試験「数学I・数学Ａ」の第５問からの出題です（少々古いですね f＾＾;
平面図形の問いを解く上で，基礎的な項目は次の３ではないか，と私は考えています

実際，このお題は，この３項目を順に使って解くことができます

今日は，上２つの項目を確認しながら，お題の \(1\) と \(2\) を解いていきましょう

三角形の角の二等分線と辺の比

少々余計な話しをしますと，平面幾何の学習が高校の数学に組み入れられたのは，平成11年３月に公示された学習指導要領からです
この学習指導要領の運用が実際に始まったのが平成15年度
この年，私は高校３年生のみを担当しており，しかも，高校生を相手に数学の授業をしっかり行うことは，この年が最後になってしまいました
したがって，所謂平面幾何の指導は経験していないのです

ところが，三角形の角の二等分線の性質は，三角比やベクトルに関する問いを解くためにもマスト事項です
ですから，この性質は当然授業でサンザン扱ってきました
説明するのには，使うときのことを考え，面積比を用いて\[\begin{array}{l}\displaystyle \mbox{BD}:\mbox{DC} = \frac{1}{2}\mbox{AB}\cdot\mbox{AD}\sin\theta : \frac{1}{2}\mbox{AC}\cdot\mbox{AD}\sin\theta\\[2px](\theta = \angle\mbox{BAD} = \angle\mbox{CAD})\end{array}\]というようなものを好んで使いました

ところが，平面幾何の学習となると，長さの比に関する証明に面積を持ち出すのは美しくない，と思えてしまいます（後に出てくるチェバの定理の証明には，やはり面積を用いるのですが・・・ f＾＾;）
教科書にも載っている定番が，やはり美しいのではないでしょうか？

まず，点 \(\mbox{C}\) を通って二等分線 \(\mbox{AD}\) に平行な直線を引き，次に，辺 \(\mbox{AB}\) の延長との交点を \(\mbox{E}\) とします・・・

と補助線が引ければ，あとは難しくありません
ここから先は，練習問題にしておきましょう

お題 \(1\) の解答

\(\mbox{AD} = \mbox{CD}\) ですから，弧 \(\mbox{AD}\) と弧 \(\mbox{CD}\) の円周角を考えると\[\angle\mbox{ABD} = \angle\mbox{ACD} = \angle\mbox{CAD} = \angle\mbox{CBD}\]したがって，線分 \(\mbox{BD}\) は \(\angle\mbox{ABC}\) の二等分線となり，\(\triangle\mbox{ABC}\) について\[\mbox{AE}:\mbox{EC} = \mbox{AB}:\mbox{BC} = 2:1\]が成り立ちます

メネラウスの定理

お題の \(2\) は特徴的な形をしています
テストなどに出題されてメネラウスの定理を使う場面というのは，比較的分かりやすいものです
入試のことを考えると，この形を見たら「メネラウス」と瞬間的に頭に浮かぶことが大切でしょう

メネラウスの定理も証明しましょう

点 \(\mbox{C}\) を通って辺 \(\mbox{AB}\) に平行な直線を引き，この直線と線分 \(\mbox{DF}\) との交点を \(\mbox{G}\) とおきます

すると，まず \(\triangle\mbox{FCG}\) と \(\triangle\mbox{FBD}\) に注目して，\(\triangle\mbox{FCG}\sim\triangle\mbox{FBD}\) から \(\displaystyle \frac{\mbox{BF}}{\mbox{FC}} = \frac{\mbox{BD}}{\mbox{CG}}\) が成り立ちます

次に，\(\triangle\mbox{ECG}\) と \(\triangle\mbox{EAD}\) に注目すると，\(\triangle\mbox{ECG}\sim\triangle\mbox{EAD}\) から \(\displaystyle \frac{\mbox{CE}}{\mbox{EA}} = \frac{\mbox{CG}}{\mbox{AD}}\) も成り立ちます

以上の二つを用いると，次の関係が成り立つことがわかります\[\begin{array}[t]{l} \displaystyle \frac{\mbox{AD}}{\mbox{DB}}\cdot\frac{\mbox{BF}}{\mbox{FC}}\cdot\frac{\mbox{CE}}{\mbox{EA}} \\ \displaystyle = \frac{\mbox{AD}}{\mbox{BD}}\cdot\frac{\mbox{BD}}{\mbox{CG}}\cdot\frac{\mbox{CG}}{\mbox{AD}} \\ = 1 \end{array}\]

お題 \(2\) の解答

\(1\) の結果とメネラウスの定理より\[\begin{array}{l} \displaystyle \frac{\mbox{AF}}{\mbox{FD}}\cdot\frac{\mbox{DG}}{\mbox{GC}}\cdot\frac{\mbox{CE}}{\mbox{EA}} = 1 \\ \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{\mbox{DG}}{\mbox{GC}}\cdot\frac{1}{2} = 1 \\ \mbox{∴}\quad \mbox{DG} = 3\mbox{GC} \\ \mbox{∴}\quad \mbox{DC}:\mbox{CG} = 2:1 \end{array}\]

チェバの定理

メネラウスの定理とセットで扱われるのが「チェバの定理」です
この証明は，練習問題にしておきますから，皆さんで考えてみてください
先ほど書いたように，面積比を用います
ただし，上手く証明できると，ちょっと感動ものです

今回も，１回で完結できなかったので，次回へ To Be Contined!!