方べきの定理

前回は，また，お題の最後を残してしまっていました
今日は，３番…「方べきの定理」に関する問いを考えましょう
上の図は，すでに辺 \(\mbox{AB}\) の延長が点 \(\mbox{G}\) を通るように描きなおしてありまして，見るからに「方べきの定理」を使いたくなります

正直に申しまして，私，メネラウスの定理・チェバの定理に比べると，方べきの定理はチョット苦手？なのです
と申しますのも，方べきの定理を使うシチュエーションを見逃してしまうことが結構あるのです
このようなことは，ある意味，慣れの問題だと思います
したがって，ある程度問題を解き込んで，それぞれの定理などを使う形を覚えてしまう必要があります

方べきの定理

方べきの定理は，直線と円の位置関係で３つのタイプに分けられます
いずれも，三角形の相似から導くことができて，私などは「相似比を使っているだけじゃないか。」という感じで捉えてしまうのですが，実は，これがいけないのです
苦手を作ってしまう原因と言えます・・・相似を見つけることは，実際の問題になると簡単なことばかりではありません
相似が見つからず，ドツボにハマ・・・これはかっこ悪いですよね
ですから，方べきの定理を使える形というのをしっかり理解すべきだと思います

それでは，お題で使うタイプから参りましょう

上術しましたように，証明には三角形の相似を用います
ですが，その前に，２つ三角形の相似を示すために，四角形が円に内接するための条件を使います
中学校で学習する内容ですから，ここでは敢えて証明しませんが，確認だけはしておきましょう

このことを使って，方べきの定理を証明します

四角形 \(\mbox{ABDC}\) は円に内接するので，\[\angle\mbox{PAC} = \angle\mbox{PDB},\quad \angle\mbox{PCA} = \angle\mbox{PBD}\]が成り立ち，\(\triangle\mbox{PAC} \sim \triangle\mbox{PDB}\) ですから

\(\mbox{PA}:\mbox{PC} = \mbox{PD}:\mbox{PB}\)　となって

\(\mbox{PA}\cdot\mbox{PB} = \mbox{PC}\cdot\mbox{PD}\)　となります

お題３．の解答

２．の結果と併せて，\(\triangle\mbox{DAG}\) にチェバの定理を用いて\[\begin{array}{l} \displaystyle \frac{\mbox{DF}}{\mbox{FA}}\cdot\frac{\mbox{AB}}{\mbox{BG}}\cdot\frac{\mbox{GC}}{\mbox{CD}} = 1 \\ \displaystyle \frac{3}{2}\cdot\frac{\mbox{AB}}{\mbox{BG}}\cdot\frac{1}{2} = 1 \\ \displaystyle \frac{\mbox{AB}}{\mbox{BG}} = \frac{4}{3} \end{array}\]これより，\(\mbox{GA}:\mbox{GB} = 3:7\)，また，\(\mbox{CD} = x\) とおくと，\(\displaystyle \mbox{GC} = \frac{x}{2}\)，\(\displaystyle \mbox{GD} = \frac{3x}{2}\) となるので，方べきの定理を用いて\[\begin{array}{l} \displaystyle \frac{3x}{2}\times \frac{x}{2} = 7\times 3 \\ x = 2\sqrt{7}\end{array}\]

方べきの定理は変身する

上で，方べきの定理は３つのタイプに分けられるとかきました
つまり，方べきの定理は，直線が円に接したり，点 \(\mbox{P}\) が円の内部に入ったりすることにより変身するのです
（その２）（その３）の更に２つのタイプを見ておきましょう