メネラウスの定理・チェバの定理とつり合い

よく分からないお題です
個人的な思い出話しから始めても宜しいでしょうか？　―　OKという返事も待たずに始めますが

私が30歳頃のことです
同じ歳の同僚が，かつて物理担当の先輩から聞いたと言って，こんな話しをしてくれました

ベクトルでよくある問題。

「数学の教員は，この問題にモーメントを使おうとは思わないだろうが，モーメントを使うとアッと言う間に解けてしまう」とのことでした

このページをご覧の方の中には，ベクトルをまだ学んでいない方もいらっしゃかもしれませんので，ここではベクトルの話しは避けます
要は，メネラウスの定理やチェバの定理と関係していて，下の図の \(\mbox{AE}:\mbox{EB}\) や \(\mbox{OP}:\mbox{PE}\) などの比の値が簡単に求められるという話しなのです

これは，二つの定理で解けますね
やってみましょう
まずはチェバの定理です\[\frac{\mbox{OC}}{\mbox{CA}}\cdot\frac{\mbox{AE}}{\mbox{EB}}\cdot\frac{\mbox{BD}}{\mbox{DO}} = 1\\[8px]\frac{2}{1}\cdot\frac{\mbox{AE}}{\mbox{EB}}\cdot\frac{2}{1} = 1\\[8px]∴　\frac{\mbox{AE}}{\mbox{EB}} = \frac{1}{4}\\[8px]∴　\mbox{AE}:\mbox{EB} = 1:4\]

さらに，メネラウスの定理を用いて\[\frac{\mbox{OC}}{\mbox{CA}}\cdot\frac{\mbox{AB}}{\mbox{BE}}\cdot\frac{\mbox{EP}}{\mbox{PO}} = 1\\[8px]\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{\mbox{EP}}{\mbox{PO}} = 1\\[8px]∴　\displaystyle \frac{\mbox{EP}}{\mbox{PO}} = \frac{2}{5}\\[8px]∴　\mbox{OP}:\mbox{PE} = 5:2\]

てこの原理とモーメント

てこの原理は，小学校６年生と中学校３年生の理科で学習します
下の図は，てこではありませんが，考え方は同じです
棒の \(\mbox{A}\) 点と \(\mbox{B}\) 点に錘がつけられていて，\(\mbox{C}\) 点を支点としてつり合っています
\(\mbox{AC}:\mbox{BC} = 1:3\) のとき，錘の重さの比はどうなっているでしょうか？

つり合いの中心（支点）の左右で，
　　　　（錘の重さ）\(\times\)（つり合いの中心から錘の距離）
が等しくなっているのでした
ですから，この場合は
　　　　\(\mbox{A}\) の錘の重さ：\(\mbox{B}\) の錘の重さ ＝ ３：１
が成り立ちます
もっとも，棒の重さは０と考えなければなりませんが

モーメントを使って問題を解きましょう

下の画面に図をコマ送りで表示しながら，\(\mbox{AE}:\mbox{EB}\) と \(\mbox{OP}:\mbox{PE}\) の求め方を説明します