本日のお題

メネラウスの定理とチェバの定理をモーメントから考えましょう

よく分からないお題です
個人的な思い出話しから始めても宜しいでしょうか? ― OKという返事も待たずに始めますが

私が30歳頃のことです
同じ歳の同僚が,かつて物理担当の先輩から聞いたと言って,こんな話しをしてくれました

ベクトルでよくある問題。

平面上に3点 \(\mbox{O}\)\(\mbox{A}\)\(\mbox{B}\) があり,辺 \(\mbox{OA}\)\(2:1\) に内分する点を \(\mbox{C}\),辺 \(\mbox{OB}\)\(1:2\) に内分する点を \(\mbox{D}\) とし,さらに線分 \(\mbox{AD}\)\(\mbox{BC}\) の交点を \(\mbox{P}\) とします
このとき,\(\overrightarrow{\mbox{OP}}\)\(\overrightarrow{\mbox{OA}}\)\(\overrightarrow{\mbox{OB}}\) で表しましょう

「数学の教員は,この問題にモーメントを使おうとは思わないだろうが,モーメントを使うとアッと言う間に解けてしまう」とのことでした

このページをご覧の方の中には,ベクトルをまだ学んでいない方もいらっしゃかもしれませんので,ここではベクトルの話しは避けます
要は,メネラウスの定理やチェバの定理と関係していて,下の図の \(\mbox{AE}:\mbox{EB}\)\(\mbox{OP}:\mbox{PE}\) などの比の値が簡単に求められるという話しなのです

これは,二つの定理で解けますね
やってみましょう
まずはチェバの定理です\[\frac{\mbox{OC}}{\mbox{CA}}\cdot\frac{\mbox{AE}}{\mbox{EB}}\cdot\frac{\mbox{BD}}{\mbox{DO}} = 1\\[8px]\frac{2}{1}\cdot\frac{\mbox{AE}}{\mbox{EB}}\cdot\frac{2}{1} = 1\\[8px]∴ \frac{\mbox{AE}}{\mbox{EB}} = \frac{1}{4}\\[8px]∴ \mbox{AE}:\mbox{EB} = 1:4\]

さらに,メネラウスの定理を用いて\[\frac{\mbox{OC}}{\mbox{CA}}\cdot\frac{\mbox{AB}}{\mbox{BE}}\cdot\frac{\mbox{EP}}{\mbox{PO}} = 1\\[8px]\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{\mbox{EP}}{\mbox{PO}} = 1\\[8px]∴ \displaystyle \frac{\mbox{EP}}{\mbox{PO}} = \frac{2}{5}\\[8px]∴ \mbox{OP}:\mbox{PE} = 5:2\]

てこの原理とモーメント

てこの原理は,小学校6年生と中学校3年生の理科で学習します
下の図は,てこではありませんが,考え方は同じです
棒の \(\mbox{A}\) 点と \(\mbox{B}\) 点に錘がつけられていて,\(\mbox{C}\) 点を支点としてつり合っています
\(\mbox{AC}:\mbox{BC} = 1:3\) のとき,錘の重さの比はどうなっているでしょうか?

つり合いの中心(支点)の左右で,
    (錘の重さ)\(\times\)(つり合いの中心から錘の距離)
が等しくなっているのでした
ですから,この場合は
    \(\mbox{A}\) の錘の重さ:\(\mbox{B}\) の錘の重さ = 3:1
が成り立ちます
もっとも,棒の重さは0と考えなければなりませんが

モーメントを使って問題を解きましょう

下の画面に図をコマ送りで表示しながら,\(\mbox{AE}:\mbox{EB}\)\(\mbox{OP}:\mbox{PE}\) の求め方を説明します


\(\triangle\mbox{OAB}\) は重さのない三角形と考えます
重さがないので,物理的な意味での重心は,この時点で考えることはできません
そこで,点 \(\mbox{P}\) が重心となるように,各頂点 \(\mbox{A}\)\(\mbox{B}\)\(\mbox{C}\) に錘をつけることにします

説明を見ると長く感じるかもしれませんが,慣れてくるとほぼ瞬間的に求められるようになります

数学と物理は内容的に重なりが多く,相互に応用できるようになると,覚えなければならないことが少なくなって効率的です


練習問題

前々回のお題の1.と2.を,モーメントを用いて解いてみましょう

四角形 \(\mbox{ABCD}\) において,\(\mbox{AB} = 4\)\(\mbox{BC} = 2\)\(\mbox{DA} =\mbox{DC}\) であり,4つの頂点 \(\mbox{A}\)\(\mbox{B}\)\(\mbox{C}\)\(\mbox{D}\) は同一円周上にあります
対角線 \(\mbox{AC}\) と対角線 \(\mbox{BD}\) の交点を \(\mbox{E}\),線分 \(\mbox{AD}\)\(2:3\) の比に内分する点を \(\mbox{F}\),直線 \(\mbox{FE}\) と直線 \(\mbox{DC}\) の交点を \(\mbox{G}\) とします

  1. 線分 \(\mbox{AE}\)\(\mbox{EC}\) の長さの比 \(\mbox{AE}:\mbox{EC}\) を求めましょう
  2. 線分 \(\mbox{DC}\)\(\mbox{CG}\) の長さの比 \(\mbox{DC}:\mbox{CG}\) を求めましょう

解答は省略します

Last modified: Monday, 11 April 2022, 4:10 AM