円周角
本日のお題
鋭角三角形 \(\triangle\mbox{ABC}\) において,頂点 \(\mbox{A}\),\(\mbox{B}\),\(\mbox{C}\) から各対辺に垂線 \(\mbox{AD}\),\(\mbox{BE}\),\(\mbox{CF}\) を下ろします
これらの垂線は垂心 \(\mbox{H}\) で交わります
このとき,次のことを示しましょう
- 四角形 \(\mbox{BCEF}\) と \(\mbox{AFHE}\) は円に内接します
- \(\angle\mbox{ADE} = \angle\mbox{ADF}\)
円周角について学ぼうと思います
この問題は,2017年度東北大学前期日程で出題されたものです
下のスライドで説明します
まず,問題文にしたがって,各頂点から対辺に垂線を下しました
四角形 \(\mbox{BCEF}\) が円に内接するということなので,円を描いてみましょう
中学生がもっている知識で証明できる問いだからと言って,決して易しいわけではありません
円周角の性質を知っているから解ける,というものでもないのですね
円周角であることに気づいて,その性質を使えるかがポイントです
円周角の定理とその逆
円周において,同じ弧に立つ円周角の大きさは一定であり,その弧に対する中心角の大きさの \(\displaystyle \frac{1}{2}\) です
4点 \(\mbox{A}\),\(\mbox{B}\),\(\mbox{C}\),\(\mbox{D}\) について,点 \(\mbox{C}\) と \(\mbox{D}\) が直線 \(\mbox{AB}\) に関して同じ側にあり,\(\angle\mbox{ACB} = \angle\mbox{ADB}\) を満たすならば,これら4点は同一円周上にあります
垂足円
三角形の内部に点をとり,その点から各辺に垂線を下ろします
3つの垂線の足を結んでできる三角形を 垂足三角形 といいます
今回のお題の三角形も垂足三角形の1つです
