円周角

まず，問題文にしたがって，各頂点から対辺に垂線を下しました
四角形 \(\mbox{BCEF}\) が円に内接するということなので，円を描いてみましょう

うん，確かに円に内接していそうです
それでは，四角形 \(\mbox{AFHE}\) はどうでしょう？

こちらも，円に内接していそうです
内接していることを示すのは少し後回しにして，先に問いの２．を図の上で見ておきましょう

この２つの角が等しくなることを示すのですね
見方を変えると，線分 \(\mbox{AD}\) が \(\angle\mbox{EDF}\) の二等分線になっていることを示すとも言えます
角の二等分線というと何か思い浮かびませんか？　そう三角形の内心です

つまり，この問題は，３本の垂線の足を頂点とする三角形を作ると，元の三角形の垂心が新たにできた三角形の内心になっている，ということを示そうとしているのです

勿論，２．を証明するためには，１．がヒントになります
さぁ，それでは，１．の証明からやっていきましょう
この証明は難しくないですね
図にちょっとした書き足しをすると，すぐに分かります

ほ～ら，\(\angle\mbox{BEC}\) と \(\angle\mbox{BFC}\) とは直角だから，点 \(\mbox{E}\) も 点 \(\mbox{F}\) も線分 \(\mbox{BC}\) を直径とする円周上にあります
ですから，四角形 \(\mbox{BCEF}\) は円に内接していますし，四角形 \(\mbox{AFHE}\) についても同様のことが言えます
次に，このことを使って，２．を証明しましょう

４点 \(\mbox{B}\)，\(\mbox{C}\)，\(\mbox{E}\)，\(\mbox{F}\) が同一円周上にあるので，\(\angle\mbox{EBF}\) と \(\angle\mbox{ECF}\) は円の同じ弧に立つ円周角となって，等しくなります>

次に・・・\(\angle\mbox{BDH}\) と \(\angle\mbox{BFH}\) も直角ですから，４点 \(\mbox{B}\)，\(\mbox{D}\)，\(\mbox{H}\)，\(\mbox{F}\) も同一円周上にあります

４点が円周上にあると言えたので，もう一度，円周角を使います>２点 \(\mbox{D}\) と \(\mbox{F}\) を結ぶと，\(\angle\mbox{FBH}\) と \(\angle\mbox{FDH}\) が等しくなっています
うん，見えてきましたね

さらに，４点 \(\mbox{C}\)，\(\mbox{E}\)，\(\mbox{H}\)，\(\mbox{D}\) についても同様に考えます
この４点も，同一円周上に乗っています

円を描いて \(\mbox{DE}\) を結ぶと，青色で描いた角はすべて等しいと言えます
これで，\(\angle\mbox{ADE}\) と \(\angle\mbox{ADF}\) の等しいことが示せました
中学生（がもっている知識）でも証明できる問題でしたね