本日のお題

鋭角三角形 \(\triangle\mbox{ABC}\) において,頂点 \(\mbox{A}\)\(\mbox{B}\)\(\mbox{C}\) から各対辺に垂線 \(\mbox{AD}\)\(\mbox{BE}\)\(\mbox{CF}\) を下ろします
これらの垂線は垂心 \(\mbox{H}\) で交わります
このとき,次のことを示しましょう

  1. 四角形 \(\mbox{BCEF}\)\(\mbox{AFHE}\) は円に内接します
  2. \(\angle\mbox{ADE} = \angle\mbox{ADF}\)

円周角について学ぼうと思います

この問題は,2017年度東北大学前期日程で出題されたものです
下のスライドで説明します

まず,問題文にしたがって,各頂点から対辺に垂線を下しました
四角形 \(\mbox{BCEF}\) が円に内接するということなので,円を描いてみましょう

中学生がもっている知識で証明できる問いだからと言って,決して易しいわけではありません
円周角の性質を知っているから解ける,というものでもないのですね
円周角であることに気づいて,その性質を使えるかがポイントです

円周角の定理とその逆

円周において,同じ弧に立つ円周角の大きさは一定であり,その弧に対する中心角の大きさの \(\displaystyle \frac{1}{2}\) です

4点 \(\mbox{A}\)\(\mbox{B}\)\(\mbox{C}\)\(\mbox{D}\) について,点 \(\mbox{C}\)\(\mbox{D}\) が直線 \(\mbox{AB}\) に関して同じ側にあり,\(\angle\mbox{ACB} = \angle\mbox{ADB}\) を満たすならば,これら4点は同一円周上にあります

垂足円

三角形の内部に点をとり,その点から各辺に垂線を下ろします
3つの垂線の足を結んでできる三角形を 垂足三角形 といいます

今回のお題の三角形も垂足三角形の1つです

練習問題

\(\triangle\mbox{ABC}\) において,頂点 \(\mbox{A}\) から辺 \(\mbox{BC}\) に垂線を下し,垂線と辺 \(\mbox{BC}\) の交点を \(\mbox{H}\) とする。\(\mbox{AH} = 1\)\(\mbox{BH} = 2\)\(\mbox{CH} = 3\) であるとき \(\triangle\mbox{ABC}\) の外接円の半径と \(\angle\mbox{BAC}\) の大きさを求めましょう

余弦定理・正弦定理を用いず,中学生が理解できるように説明しましょう 解答 隠す

最終更新日時: 2022年 03月 7日(月曜日) 14:18