トレミーの定理を証明しましょう
上の FWD ボタンをクリックしてください
弧 \(\mbox{AB}\) と弧 \(\mbox{ED}\) が等しくなるよう，円周上に点 \(\mbox{E}\) をとります
点 \(\mbox{E}\) と点 \(\mbox{C}\) を結んで，対角線 \(\mbox{BD}\) との交点を \(\mbox{F}\) とします
ここで，\(\triangle\mbox{ABC}\) と \(\triangle\mbox{DFC}\) を考えましょう
弧 \(\mbox{AB}\) と弧 \(\mbox{ED}\) が等しいので\[\angle\mbox{ACB} = \angle\mbox{DCF}\]
弧 \(\mbox{BC}\) に立つ円周角で\[\angle\mbox{BAC} = \angle\mbox{FDC}\]
\(\triangle\mbox{ABC} \sim \triangle\mbox{DFC}\) となり
\(\mbox{AB}:\mbox{AC} = \mbox{DF}:\mbox{CD}\)
∴ \(\mbox{AB}\cdot\mbox{CD} = \mbox{AC}\cdot\mbox{DF}\)
次に \(\triangle\mbox{ACD}\) と \(\triangle\mbox{BCF}\) を考えます
\(\angle\mbox{DCF} = \angle\mbox{ACB}\) でしたので・・・
\(\angle\mbox{ACD} = \angle\mbox{BCF}\)
弧 \(\mbox{CD}\) に立つ円周角で\[\angle\mbox{CAD} = \angle\mbox{CBF}\]
\(\triangle\mbox{ACD} \sim \triangle\mbox{BCF}\) となり
\(\mbox{AD}:\mbox{AC} = \mbox{BF}:\mbox{BC}\)
\(\mbox{AD}\cdot\mbox{BC} = \mbox{AC}\cdot\mbox{BF}\)
得られた上の２式の両辺を加えると\[\mbox{AB}\cdot\mbox{CD} + \mbox{AD}\cdot\mbox{BC} = \mbox{AC}\cdot(\mbox{DF} + \mbox{BF})\]\(\mbox{DF} + \mbox{BF} = \mbox{BD}\) だから\[\mbox{AB}\cdot\mbox{CD} + \mbox{AD}\cdot\mbox{BC} = \mbox{AC}\cdot\mbox{BD}\]
完了～!!
ところで，証明を見ながら，点 \(\mbox{F}\) の位置を決めるのに，弧を等しくとらないくても，\(\angle\mbox{ACB} = \angle\mbox{DCF}\) となるようにとればイイんじゃネ？ と思った人がいらっしゃいませんか
その通りです
円周上に点 \(\mbox{E}\) をとったのは，作図する際にその方が自然だと考えたからです
最後に，もう一度 FWD をクリックしてください
補足の説明が表示されます
