オイラー線
本日のお題
鋭角三角形 \(\mbox{ABC}\) について，その外心と垂心をそれぞれ \(\mbox{O}\) と \(\mbox{H}\) とおきます
辺 \(\mbox{BC}\) の中点を \(\mbox{M}\) として，中線 \(\mbox{AM}\) と線分 \(\mbox{OH}\) の交点が \(\triangle\mbox{ABC}\) の重心であることを証明しましょう
このことが証明されると，三角形の垂心，重心，外心は一直線上に並ぶことが証明されたことになります
話しをややこしくしないために，鋭角三角形という条件を付けましたが，鈍角三角形でも成り立ちます
そして，この垂心，重心，外心の乗った直線には名前がついておりまして，オイラー線 といいます
高校の教科書では扱われていないので，オイラー線そのものが大学入試などで問題になることはありません
しかし，ベクトルの問題などで関連した問いが出題されることはありますから，知っていて損のない内容です
さて，証明です
ここでも，スライド形式での解説をしますから，証明の完成は各自のノートにお願いします
まずは，証明の方針を明確にしましょう
上の証明から，三角形の垂心 \(\mbox{H}\)，重心 \(\mbox{G}\)，外心 \(\mbox{O}\) は，同一直線上に並ぶだけでなく，それぞれの距離の比が\[\mbox{HG}:\mbox{GO} = 2:1\]の一定であることも分かりますね
オイラー線
三角形の垂心 \(\mbox{H}\)，重心 \(\mbox{G}\)，外心 \(\mbox{O}\) は，同一直線上に並び，この直線をオイラー線とよびます。さらに，\(\mbox{HG}:\mbox{GO} = 2:1\) が成り立ちます。
練習問題
鈍角三角形の場合を証明してください
解答は省略します