高校数学: 不等式の表す領域

本日のお題

次の不等式\[(x + y - 1)(x^2 + y^2 - 1) > 0\]が表す領域を図示しましょう

今日は不等式の表す領域を考えます

私事ですが，私はモノグサな人間です
簡単に済むことはできる限り簡単に済ませたいと考えます
沢山の事柄を覚えるのも嫌です
ですから，不等式といったら，どんな不等式でも同じように考えたい・・・ということで，２次不等式の話しから始めます

不等式の解法に関する考察

私は，２次不等式を解くとき，高校生にも大学生にも「グラフを描こう」と話します\[x^2 - 2x - 3 > 0\]この不等式ならば　\((x - 3)(x + 1) > 0\)　と因数分解して下のグラフを描きます

\(x\) 軸の上側を見て　\(x < -1,\ 3 < x\)　という解を得えます

勿論，自分でも，このように解きます
このように解いていると信じ切っています
でも，ホントかな？　と疑ってしまうこともあります

解が分かっていて，グラフを描いているのでは・・・というような気のすることがあるのです

どういうことかと言うと，例えば，３次不等式\[x^2(x - 1) < 0\]を解くとき

このようなグラフを描いて　\(x < 0,\ 0 < x < 1\) という解を求めます

しかし・・・何故，このグラフが描けるのでしょう？

その疑問から，自分の頭の中を分析してみました

２次でも，３次でも，多項式の不等式ならば，まず，因数分をしようとします
\(x\) と \(y\) の２変数の場合でも同じです
これは如何なる行為なのでしょうか？

零点を求めている

\(0\) は正の数と負の数の間にあります
つまり，正の数の国と負の数の国とを分ける境界です
当然，境界を越えれば隣りの国に入ります

数直線上に零点が２つあったとします
それを \(x = \alpha\) と \(x = \beta\) とすると，２つの零点により，数直線は３分割されます
シツコク言います・・・境界の向こう側は別の国です

このとき，例えば　\(x < \alpha\) の部分が正の国の領土であれば，それぞれの国の領土（\(+\) と \(-\) で表します）は，下の図のように分割されます

\(x < \alpha\) の部分が負の国の領土であれば，数直線は

とそれぞれの国の領土に分割されます

ただし，例外があります
\((\mbox{・・・})^2\) となったところなどは，零点であっても，境界ではありません
超えても，隣りの国に入ることはできないのです
何故なら、この零点の右と左では符号が変化しないからです

上記のようなイメージをもっています

ですから　\(y = x^2(x - 1)\)　のグラフを

と描くことができる・・・のではないでしょうか？（確信はありませんが f＾＾;）
自分の頭の中ほど分からないものはないのです!!

不等式を解けない学生さんと話していると，「\(0\) になるところは見つけられても，その後，符号を決めることができない」という方が少なからずいます

そのような方は，例えば \(x = 2\) のように具体的な値を式に代入すれば，その値が正と負のどちらの国に入るかが分かります
ただし私は，計算嫌いのモノグサですから，次のように考えます
\(x = 1\) の右側には境界がないので，\(x\) の値がとても大きい部分の符号を求めます
\(x^2(x - 1) > 0\) ですから，右から順に＋→０→－→０→－と領土分けができます

ノートに描くときには、色付きの領土図は効率が悪いので，\(+\) を \(x\) 軸の上に，\(-\) を \(x\) 軸の下になるようにグラフを描きます
グラフは効率よく描け，しかも見やすいものですから

以上のように考えているような気がします

\(x\) と \(y\) の不等式が表す領域

次は，\(x\) と \(y\) の２元の不等式です\[x + y > 1\]を考えましょう
２変数の不等式の領域は，平面上に描くことになりますが，その求め方は上と同じです
与式を\[x + y - 1 > 0\]と変形して，左辺の零点 \(x + y - 1 = 0\) を考えます
これが正の国と負の国を分ける境界です

ここで，式 \(x + y - 1\) に原点 \((0,\ 0)\) を代入すると，\(x + y - 1 = -1 < 0\) となって「原点を含む領域は負の国であり，原点を含まない領域が正の国である」と分かります

あるいは，\(x\) と \(y\) が共に大きな数，つまり右上の方は正の国であると考えることもできます