本日のお題

次の不等式\[(x + y - 1)(x^2 + y^2 - 1) > 0\]が表す領域を図示しましょう

今日は不等式の表す領域を考えます

私事ですが,私はモノグサな人間です
簡単に済むことはできる限り簡単に済ませたいと考えます
沢山の事柄を覚えるのも嫌です
ですから,不等式といったら,どんな不等式でも同じように考えたい・・・ということで,2次不等式の話しから始めます

不等式の解法に関する考察

私は,2次不等式を解くとき,高校生にも大学生にも「グラフを描こう」と話します\[x^2 - 2x - 3 > 0\]この不等式ならば \((x - 3)(x + 1) > 0\) と因数分解して下のグラフを描きます

\(x\) 軸の上側を見て \(x < -1,\ 3 < x\) という解を得えます

勿論,自分でも,このように解きます
このように解いていると信じ切っています
でも,ホントかな? と疑ってしまうこともあります

解が分かっていて,グラフを描いているのでは・・・というような気のすることがあるのです

どういうことかと言うと,例えば,3次不等式\[x^2(x - 1) < 0\]を解くとき

このようなグラフを描いて \(x < 0,\ 0 < x < 1\) という解を求めます

しかし・・・何故,このグラフが描けるのでしょう?

その疑問から,自分の頭の中を分析してみました

2次でも,3次でも,多項式の不等式ならば,まず,因数分をしようとします
\(x\)\(y\) の2変数の場合でも同じです
これは如何なる行為なのでしょうか?

零点を求めている

\(0\) は正の数と負の数の間にあります
つまり,正の数の国と負の数の国とを分ける境界です
当然,境界を越えれば隣りの国に入ります

数直線上に零点が2つあったとします
それを \(x = \alpha\)\(x = \beta\) とすると,2つの零点により,数直線は3分割されます
シツコク言います・・・境界の向こう側は別の国です

このとき,例えば \(x < \alpha\) の部分が正の国の領土であれば,それぞれの国の領土(\(+\)\(-\) で表します)は,下の図のように分割されます

\(x < \alpha\) の部分が負の国の領土であれば,数直線は

とそれぞれの国の領土に分割されます

ただし,例外があります
\((\mbox{・・・})^2\) となったところなどは,零点であっても,境界ではありません
超えても,隣りの国に入ることはできないのです

何故なら、この零点の右と左では符号が変化しないからです

上記のようなイメージをもっています

ですから \(y = x^2(x - 1)\) のグラフを

と描くことができる・・・のではないでしょうか?(確信はありませんが f^^;)
自分の頭の中ほど分からないものはないのです!!

不等式を解けない学生さんと話していると,「\(0\) になるところは見つけられても,その後,符号を決めることができない」という方が少なからずいます

そのような方は,例えば \(x = 2\) のように具体的な値を式に代入すれば,その値が正と負のどちらの国に入るかが分かります
ただし私は,計算嫌いのモノグサですから,次のように考えます
\(x = 1\) の右側には境界がないので,\(x\) の値がとても大きい部分の符号を求めます
\(x^2(x - 1) > 0\) ですから,右から順に +→0→-→0→- と領土分けができます

ノートに描くときには、色付きの領土図は効率が悪いので,\(+\)\(x\) 軸の上に,\(-\)\(x\) 軸の下になるようにグラフを描きます
グラフは効率よく描け,しかも見やすいものですから

以上のように考えているような気がします

\(x\)\(y\) の不等式が表す領域

次は,\(x\)\(y\) の2元の不等式です\[x + y > 1\]を考えましょう
2変数の不等式の領域は,平面上に描くことになりますが,その求め方は上と同じです
与式を\[x + y - 1 > 0\]と変形して,左辺の零点 \(x + y - 1 = 0\) を考えます
これが正の国と負の国を分ける境界です

ここで,式 \(x + y - 1\) に原点 \((0,\ 0)\) を代入すると,\(x + y - 1 = -1 < 0\) となって「原点を含む領域は負の国であり,原点を含まない領域が正の国である」と分かります

あるいは,\(x\)\(y\) が共に大きな数,つまり右上の方は正の国であると考えることもできます

このことが理解できましたら,次はこれです\[x^2 + y^2 < 1\]与式を \(x^2 + y^2 - 1 < 0\) と変形すると,左辺の零点は \(x^2 + y^2 = 1\),原点を中心とする単位円です
この円が,正の国と負の国を分ける境界です

不等式の表す領域はこの円の内側か外側か? 原点 \((0,\ 0)\) は負の国にあるので,円の内側が負の国ということになります・・・簡単ですね

最後に,不等式\[(x + y - 1)(x^2 + y^2 - 1) > 0\]の表す領域です

左辺の零点は\[x + y = 1,\quad x^2 + y^2 = 1\]となるので,領域の境界を図示すると下の図のようになります

円と直線によって平面が4分割されています
この4分割されたそれぞれの部分が,正の国の領土か,負の国の領土かの領土分けをします

\(x\)\(y\) も大きい,つまり右上は正の国ですから,「境界を越えたら隣りの国」と併せて考えば,この不等式の表す領域を下図のように描くことができます


練習問題

次の不等式が表す領域を図示しよう。

  1. \(y \geqq x^2 + x + 1\)
  2. \(y < \sqrt{x - 1}\quad (x \geqq 1)\)
  3. \((x + 2y + 1)(2x - 3y - 5) < 0\)
  4. \((x + y - 2)(x^2 + y^2 - 4) \leqq 0\)
  5. \(|\, x + y \,| < 1\)

※解答は GeoGebra で確認してください

因みに、このページの図は全て GeoGebra で描いています
勿論、不等式が表す領域も、すべて、式を入力して描いたものです

最終更新日時: 2022年 04月 10日(日曜日) 11:05