角の二等分線
本日のお題
３点 \(\mbox{A}(2,\ 4)\)，\(\mbox{B}(1,\ 1)\)，\(\mbox{C}(3,\ 2)\) について，\(\angle\mbox{ABC}\) の二等分線の方程式を求めましょう
角の二等分線は，ここまでの話しの一つの目標地点です
これまでお話した内容が幾つか出てきますから，復習も兼ねて取り組みましょう
三角形の内角の二等分線と辺の比
角の二等分線というと，直ぐに思い出されるのはこれです
\(\triangle\mbox{ABC}\) において，\(\angle\mbox{A}\) の二等分線と辺 \(\mbox{BC}\) との交点を \(\mbox{D}\) とおくと\[\mbox{AB}:\mbox{AC} = \mbox{BD}:\mbox{DC}\]が成り立ちます
お題の３点を用いて \(\triangle\mbox{ABC}\) を作り，\(\angle\mbox{ABC}\) の二等分線を引くと
辺 \(\mbox{AB}\) と \(\mbox{BC}\) の長さはそれぞれ \(\sqrt{10}\) と \(\sqrt{5}\) ですから\[\mbox{AB}:\mbox{BC} = \sqrt{2}:1\]となります
すると点 \(\mbox{D}\) は辺 \(\mbox{CA}\) を \(1:\sqrt{2}\) に内分しているので，内分点の座標を計算して求めると \(\mbox{D}(4 - \sqrt{2},\ 2\sqrt{2})\) です
\(\angle\mbox{ABC}\) は，２点 \(\mbox{B}\) と \(\mbox{D}\) を通る直線ですから \[\begin{array}{l} \displaystyle y - 1 = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3 - \sqrt{2}}(x - 1) \\ \mbox{∴}\ (2\sqrt{2} - 1)x - (3 - \sqrt{2})y + 4 - 3\sqrt{2} = 0 \end{array}\]
ヘッセの標準形の利用
角の二等分線は，角をなす２つの半直線に下した垂線の長さが等しい点の軌跡と言えます
そのことを，下の図で確認しましょう
それぞれの垂線の長さはヘッセの標準形を使って求めることができました
ヘッセの標準形
点 \(\mbox{A}(x_0,\ y_0)\) から直線 \(l:ax + by + c = 0\) に下した垂線 \(\mbox{AH}\) の長さは \[\mbox{AH} = \displaystyle \frac{|\,ax_0 + by_0 + c\,|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\] で表される
ヘッセの標準形を使うためには，２直線 \(\mbox{AB}\) と \(\mbox{BC}\) の方程式を求めておかなければなりません \[\left\{\begin{array}{rl} \mbox{AB} & 3x - y - 2 = 0 \\[2px] \mbox{BC} & x - 2y + 1 = 0 \end{array}\right.\] \(\angle\mbox{ABC}\) の二等分線上に点 \(\mbox{P}(x,\ y)\) をとり，直線 \(\mbox{AB}\) に下した垂線の足を \(\mbox{H}_1\)，直線 \(\mbox{BC}\) に下した垂線の足を \(\mbox{H}_2\) とおくと \[\begin{array}{l} \mbox{PH}_1 = \mbox{PH}_2 \\[2px] \displaystyle \frac{|\,3x - y - 2\,|}{\sqrt{10}} = \frac{|\,x - 2y + 1\,|}{\sqrt{5}} \end{array}\] ここで，絶対値を外す必要があります
不等式の領域の考え方を使えば，\(\mbox{P}\) は，\(3x - y -2\) の正領域にあって，\(x - 2y + 1\) の負領域にあります \[\begin{array}{l} \displaystyle \mbox{∴}\quad \frac{3x - y - 2}{\sqrt{10}} = \frac{-x + 2y - 1}{\sqrt{5}} \\[2px] 3x - y - 2 = \sqrt{2}(- x + 2y - 1) \\[2px] (3 + \sqrt{2})x - (1 + 2\sqrt{2})y - 2 + \sqrt{2} = 0 \end{array}\]
求めた２つの方程式が違っているのでは？ と訝しく思う向きもいらっしゃるでしょう
ご安心ください・・・２つの方程式は変形するとともに \[y = \frac{1 + 5\sqrt{2}}{7}\,x + \frac{6 - 5\sqrt{2}}{7}\] になります
