2020/07/28 連立微分方程式

本日のお題

ケチをつける気はないのですが,とても不親切な書き方をした問題ですね

\(\hspace{2em} \left\{ \begin{array}{lcc} \displaystyle y' = \frac{z}{x} & \cdots & ① \\ \displaystyle z' = \frac{y}{x} & \cdots & ② \end{array}\right.\)

\(y'\)\(z'\) は,何で微分したのか?が分かりますか? 実は,それをしっかり書かなければ,問題として不成立なのですが・・・
まぁ,私自身,\(\displaystyle y' = \frac{dy}{dx},\quad z' = \frac{dz}{dx}\) でなければ解けませんので,そのように解釈することにします

まず,①の両辺を \(x\) で微分します

\(\hspace{2em} \begin{array}{l} y'' \begin{array}[t]{l} = \displaystyle \frac{z'\,x - z}{x^2} \\ \displaystyle = \frac{\displaystyle \frac{y}{x} \, x - x\,y'}{x^2} \\ \displaystyle = \frac{y - x\,y^2}{x^2} \end{array}  \\ ∴ \quad x^2\,y'' = y - x\,y' \\ \qquad x^2 \, y'' + x \, y' - y = 0 \quad \cdots \quad ③ \end{array}\)

この形の微分方程式をオイラーの微分方程式といい,\(t = \log |\,x\,|\) とおいて解くのが常套手段です
(教科書のP100に \(x = e^t\) とおくと書かれていますが,これは間違いです
 なぜなら,これでは \(x > 0\) の範囲に限定されてしまうからです)

\(t = \log |\,x\,|\) とおくと,\(\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}\) すなわち \(x = \displaystyle \frac{dx}{dt}\) です

したがって,\(\displaystyle x\,y' = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} \quad \cdots \quad ④\)

また,④ \(x\, y' = \displaystyle \frac{dy}{dt}\) の両辺を \(x\) で微分すると

\(\hspace{2em} \begin{array}{l} \displaystyle y' + x\, y'' = \frac{d^2y}{dt^2}\cdot\frac{dt}{dx} \\ \displaystyle \frac{1}{x}\cdot\frac{dy}{dt} + x\,y'' \frac{d^2 y}{dt^2} \cdot \frac{1}{x} \\ \displaystyle x^2 \, y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \quad \cdots \quad ⑤ \end{array} \)

④,⑤を③に代入すると

\(\hspace{2em} \displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2} - y = 0\)

となるので,特性方程式 \(\lambda^2 - 1 = 0\) を解いて,\(\lambda = \pm 1\) を得ます

したがって,\(y\) の一般解は \(\displaystyle y = C_1\,e^t + C_2\,e^{-t} = C_1\,|\,x\,| + \frac{C_2}{|\,x\,|}\)

\(z\) を求めるために \(x > 0 \) の場合と,\(x < 0\) の場合に場合分けをします

\(x > 0\) のとき

\(\hspace{2em} \begin{array}{l} \displaystyle y'= C_1 - \frac{C_2}{x^2} \\ \displaystyle ∴ \quad z = x\,y' = C_1\, x - \frac{C_2}{x} \quad \cdots \quad ⑥ \end{array}\)

\(x < 0\) のとき

\(\hspace{2em} \begin{array}{l} \displaystyle y'= -C_1 + \frac{C_2}{x^2} \\ \displaystyle ∴ \quad z = x\,y' = -C_1\, x + \frac{C_2}{x} \quad \cdots \quad ⑦ \end{array}\)

⑥,⑦から,\(\displaystyle z = C_1\,|\,x\,| - \frac{C_2}{|\,x\,|}\)

以上から \(\displaystyle y = C_1\,|\,x\,| + \frac{C_2}{|\,x\,|},\quad z = C_1\,|\,x\,| - \frac{C_2}{|\,x\,|}\)