３次関数のグラフの接線
本日のお題
\(x\) の３次関数 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) のグラフについて，次の接線の方程式を求めましょう．
１ 点 \((0,\ 1)\) における接線 及び 点 \((2,\ 3)\) における接線
２ 傾き \(1\) の接線 及び 傾き \(3\) の接線
３ 点 \((-1,\ 4)\) から引いた接線
何はともあれ，グラフを描きましょう．\[f(x) = x^3 - 3x + 1 \\ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)\]ですから，増減表は次のようになり，
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow \\ \hline \end{array}\)
グラフは，下図のとおりになります．
\(x\)
\(y\)
接線の方程式に関する問いは基本的に３種類
微分で接線を扱う場合は，次の３種類しかないと言って構いません．
Type1 接点の座標が分かっていて，その点における接線の方程式を求める．
Type2 傾きが分かっている接線の方程式を求める．
Type3 グラフ（曲線）外の点から，グラフに引いた接線の方程式を求める．
さらに言うならば，Type2 と Type3 は，Type1 の応用です．
ここで使う道具の確認もしますが，次の２つだけです．
関数 \(f(x)\) のグラフの \(x = a\) における接線の傾きは，微分係数 \(f'(a)\) に等しい．
点 \((x_0,\ y_0)\) を通り，傾き \(m\) の直線の方程式は
\(\hspace{3em} y - y_0 = m(x - x_0)\)
である．
接点の座標が分かっている場合
点 \((0,\ 1)\)，\((2,\ 3)\) における接線の方程式を求めましょう．\(x\)
\(y\)
点 \((0,\ 1)\) における接線の方程式
\(f'(x) = 3x^2 - 3\) より \(f'(0) = -3\)
したがって，点 \((0,\ 1)\) における接線の方程式は\[y - 1 = -3(x - 0) \\∴\quad y = -3x + 1 \qquad (\mbox{answer})\]
点 \((2,\ 3)\) における接線の方程式
\(f'(x) = 3x^2 - 3\) より \(f'(2) = 9\)
したがって，点 \((2,\ 3)\) における接線の方程式は\[y - 3 = 9(x - 2) \\∴\quad y = 9x - 15 \qquad (\mbox{answer}) \]
傾きが分かっている場合
問題１ から接点の座標さえ分かれば，接線の方程式を求められることが分かりました．したがって，接点の座標が分かっていない接線の方程式に関しては
接点の座標を \((t,\ f(t))\) とおく．
から始めます．
\(x\)
\(y\)
傾き \(1\) の接線の方程式
接点の座標を \((t,\ t^3 - 3t + 1)\) とおきます．接線の座標が \(1\) ですから \(f'(t) = 1\) が成り立ちます．\begin{eqnarray*} & &f'(x) = 3x^2 - 3 & & \\ & & ∴\quad 3t^2 - 3 = 1 \\ & & ∴ \quad t = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}\(\displaystyle t = \frac{2}{\sqrt{3}}\) のとき，\(\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{3}},\ -\frac{10}{3\sqrt{3}} + 1 \right)\) における接線の方程式は\[y - \left(- \frac{10}{3\sqrt{3}} + 1 \right) = x - \frac{2}{\sqrt{3}} \\ ∴ \quad y = x - \frac{16\sqrt{3}}{9} + 1\]一方，\(\displaystyle t = -\frac{2}{\sqrt{3}}\) のとき，\(\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{3}},\ \frac{10}{3\sqrt{3}} + 1 \right)\) における接線の方程式は\[y - \left(\frac{10}{3\sqrt{3}} + 1 \right) = x + \frac{2}{\sqrt{3}} \\ ∴ \quad y = x + \frac{16\sqrt{3}}{9} + 1\]以上から，求める接線の方程式は\[y = x \pm \frac{16\sqrt{3}}{9} + 1 \qquad \mbox{(answer)}\]
傾き \(3\) の接線の方程式
接点の座標を \((t,\ t^3 - 3t + 1)\) とおきます．接線の座標が \(3\) ですから \(f'(t) = 3\) が成り立ちます．\begin{eqnarray*} & &f'(x) = 3x^2 - 3 & & \\ & & ∴\quad 3t^2 - 3 = 3 \\ & & ∴ \quad t = \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}\(\displaystyle t = \sqrt{2}\) のとき，\(\displaystyle \left(\sqrt{2},\ -\sqrt{2} + 1 \right)\) における接線の方程式は\[y - \left(-\sqrt{2} + 1 \right) = 3\left(x - \sqrt{2}\right) \\ ∴ \quad y = 3x - 4\sqrt{2} + 1\]一方，\(\displaystyle t = -\sqrt{2}\) のとき，\(\displaystyle \left(-\sqrt{2},\ -\sqrt{2} + 1 \right)\) における接線の方程式は\[y - \left( -\sqrt{2} + 1 \right) = 3 \left(x + \sqrt{2} \right) \\ ∴ \quad y = 3x + 4\sqrt{2} + 1\]以上から，求める接線の方程式は\[y = 3x \pm 4\sqrt{2} + 1 \qquad \mbox{(answer)}\]
グラフの外側の点から接線を引く場合
点 \((-1,\ 4)\) から引いた接線の方程式
\(x\)
\(y\)
接点の座標を \((t,\ t^3 - 3t + )\) とおくと，接線の方程式は\[y - (t^3 - 3t + 1) = (3t^2 - 3)(x - t)\]となるので，この式を整理して\[y = 3(t^2 - 1)x - 2t^3 + 1 \tag{1}\]
を得ます．この方程式の表す直線が点 \((-1,\ 4)\) を通ればよいので，方程式に \(x = -1\) と \(y = 4\) を代入します．すると\[4 = -3(t^2 - 1) - 2t^3 + 1 \\ ∴\quad 2t^3 + 3t^2 = 0 \\ ∴ \quad t^2(2t + 3) =0 \\ ∴ \quad t = 0,\quad -\frac{3}{2}\]\((1)\) に \(t = 0\) を代入して \(y = -3x + 1\)
\((1)\) に \(\displaystyle t = -\frac{3}{2}\) を代入して \(\displaystyle y = \frac{15}{4} + \frac{31}{4}\)
したがって\[y = -3x + 1,\quad y = \frac{15}{4}x + \frac{31}{4}\qquad \mbox{(answer)}\]