３次関数の最大・最小

３次関数の最大・最小に関する問題ですが，関数が定数 \(a\) を含みます．係数に定数を含む２次関数の問題がそうであったように，まずはグラフを描いてみたいと思います．

　\(a = \) 　

予想通りに，２次関数より複雑な動きをしますねぇ．しかし，最大値と最小値に分けて，極小となる点の \(x\) 座標と定義域の右端 \(x = 1\) との比較，定義域の両端における関数値の比較により考えることができそうです．

それでは解いていきましょう．上でグラフを確認してしまいました．ところが，試験となればこのようなツールを使うことはできません．ですから，まずは，微分して増減を調べることにしましょう．\[f(x) = x^3 - 3a^2x \\[4px] f'(x) = 3x^2 -3a^2 = 3(x + a)(x - a)\]\(a > 0\) ですから増減表は下のとおりになります．

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \textcolor{#A0A0A0}{\dots} & \textcolor{#A0A0A0}{-a} & \textcolor{#A0A0A0}{\cdots} & 0 & \cdots & a & \cdots \\ \hline f'(x) & \textcolor{#A0A0A0}{+} & \textcolor{#A0A0A0}{0} & \textcolor{#A0A0A0}{-} & - & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \textcolor{gray}{\nearrow} & \textcolor{#A0A0A0}{2a^3} & \textcolor{#A0A0A0}{\searrow} & 0 & \searrow & -2a^2 & \nearrow \\ \hline \end{array}\)

\(0 \leqq x \leqq 1\) の範囲での最大値と最小値を求めるので，実際にはグレーの部分が不要になります．

最小値

\(a < 1\) であるか \(a \geqq 1\) であるかによって，最小値をとる \(x\) の値が違ってきます．

\(a < 1\) のとき

このときは，最小値を考える区間の中に \(x = a\) が入っています．つまり，\(0 \leqq x \leqq 1\) の中に極小値をとる \(x = a\) が入っています．したがって，\(x = a\) で最小値 \(-2a^2\) をとります．

\(a \geqq 1\) のとき

\(0 \leqq x \leqq 1\) の範囲で \(f'(x) \leqq 0\) が成り立って，関数 \(f(x)\) は単調に減少します．したがって， \(x = 1\) で最小値 \(f(1) = 1 - 3a^2\) をとります．

以上をまとめると，\(0 \leqq x \leqq 1\) における関数 \(f(x)\) の最小値は\[\left\{\begin{array}{lccl} 0 < a < 1 & \Rightarrow & -2a^2 & (x = a) \\[4px] a \geqq 1 & \Rightarrow & 1 - 3a^2 & (x = 1) \end{array} \right.\]

最大値

最大となるのは，区間の両端 \(f(0\) と \(f(1)\) の大きい方です．\(f(0) = 0\) です．一方\[f(1) = 1 - 3a^2 = -3\left(a + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(a - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\]ですから，\(0 \leqq x \leqq 1\) における関数 \(f(x)\) の最大値は\[\left\{ \begin{array}{lccl} 0 < a < \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & \Rightarrow & 1 - 3a^2 & (x = 1) \\[4px] a \geqq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & \Rightarrow & 0 & (x = 0) \end{array} \right.\]