３次関数の極大・極小
本日のお題
１ \(x\) の３次関数 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3\) が \(x = -1\) で極大値 \(4\) をとるように，定数 \(a\) と \(b\) の値を定めましょう．
２ \(x\) の３次関数 \(f(x) = x^3 + ax^2 + x + 1\) が極値をとるとき，定数 \(a\) のとり得る値の範囲を求めましょう．
お題１の解答
\[f'(x) = 6x^2 + 2ax + b\] 関数 \(f(x)\) が \(x = -1\) で 極大値 \(4\) をとるためには\[f'(-1) = -2a + b + 6 = 0 \\ f(-1) = a - b -5 = 4 \]が 必要条件 です．上の２式を連立すると\[a = -3,\quad b = -12\]を得ます．このとき\[f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x -3 \\ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)\]となるので，増減表を書きます．
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & -23 & \nearrow \\ \hline \end{array}\)
確かに \(x = -1\) で極大値 \(4\) をとるので\[a = -3,\quad b = -12\qquad \mbox{(answer)}\]
十分性の確認
あくまで必要条件によって，解の候補を絞り込んだだけなので，十分性の確認をします．絶対に忘れないでね!!
お題２の解答
\[f'(x) = 3x^2 + 2ax + 1\]関数 \(f(x)\) が極値をもつための必要十分条件は \(f'(x)\) が符号の変化をすることですから\[D/4 = a^2 - 3 > 0 \\ ∴ \quad x < -\sqrt{3},\ \sqrt{3} < x \qquad \mbox{(answer)}\]
練習問題
１ \(x\) の３次関数 \(f(x) = 2x^3 - 3(a + 1)x^2 + 6ax\) が極小値 \(0\) をとるように，定数 \(a\) の値を定めましょう．
２ \(x\) の３次関数 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2\) が単調増加するために満たすべき，定数 \(a\) と \(b\) の条件を求めましょう