(x - α)(x - β) の定積分

数学的には重要な事柄ではありません（と私は感じます）が，高校の定期試験や大学受験を考えると，上手く使えるかどうかは極めて大事です．

数学Ⅲで置換積分を学んでいれば，この計算は簡単なのですがねぇ，数学Ⅱの積分ですから力技でいきましょう．\[\begin{eqnarray*} & & \int_{\alpha}^{\beta}(x - \alpha)(x - \beta)\,dx \\[4px] & = & \int_{\alpha}^{\beta}\left\{ x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta \right\}\,dx \\[4px] & = & \left[ \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} (\alpha + \beta) x^2 + \alpha \beta x \right]_{\alpha}^{\beta} \\[4px] & = & \frac{1}{3} \beta^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \beta^2 + \alpha \beta^2　\\ & & \hspace{2em} -\frac{1}{3} \alpha^3 + \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \alpha^2 - \alpha^2 \beta \\[4px] & = & \frac{1}{3} (\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2} (\alpha + \beta)(\beta^2 - \alpha^2) + \alpha \beta (\beta - \alpha) \\[4px] & = & (\beta - \alpha) \left\{ \frac{1}{3} (\beta^2 + \beta \alpha + \alpha^2) - \frac{1}{2}(\beta^2 + 2 \beta \alpha + \alpha^2) + \alpha \beta \right\} \\[4px] & = & (\beta - \alpha) \left( -\frac{1}{6}\beta^2 + \frac{1}{3} \beta \alpha - \frac{1}{6} \alpha^2 \right) \\[4px] & = & -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)(\beta^2 - 2\beta \alpha + \alpha^2) \\[4px] & = & -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \end{eqnarray*}\]

因みに置換積分を使いますと・・・

　　\(x - \alpha = t\) とおくと，\(dx = dt\)
\(\hspace{2em}\begin{array}{c|ccc} x & \alpha & \rightarrow & \beta \\ \hline t & 0 & \rightarrow & \beta - \alpha \end{array}\)\[\begin{eqnarray*} & & \int_{\alpha}^{\beta}(x - \alpha)(x - \beta)\,dx \\[4px] & = & \int_{0}^{\beta - \alpha} t(t + \alpha - \beta)\,dt \\[4px] & = & \int_0^{\beta - \alpha}\left\{t^2 - (\beta - \alpha)t\right\}\,dt \\[4px] & = & \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2} (\beta - \alpha) t^2 \right]_{0}^{\beta - \alpha} \\[4px] & = & \frac{1}{3}(\beta - \alpha)^3 - \frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3 \\[4px] & = & -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \end{eqnarray*}\]

どのように使うの？

証明ができても，どのような場面で，どのように使うのでしょうねぇ？　むしろ，そちらの方が重要ですよね，高校生の皆さんにとって．簡単な例題を２つ紹介しましょう．

例題１

放物線 \(y = x^2\) と直線 \(y = x + 2\) で囲まれた図形の面積を求めましょう．

解説

何はともあれ，放物線と直線の交点の \(x\) 座標を求めましょう．\[x^2 = x + 2 \\[4px] x^2 - x -2 = 0 \\[4px] (x + 1)(x - 2) = 0 \\[4px] ∴ \quad x = -1,\quad x = 2\]したがって，題意の図形の面積を \(S\) とすると\[\begin{eqnarray*} S & = & \int_{-1}^{2}(x + 2 - x^2)\,dx \\[4px] & = & - \int_{-1}^{2} (x + 1)(x - 2)\,dx \end{eqnarray*}\]となっています．そして，敢えて被積分関数を因数分解したのは，お題の式を使おうという意図です．まぁ，放物線と直線で囲まれた図形や，２つの放物線で囲まれた図形の面積と言えば，２交点間を積分するのですから，この形になりますよね．ということは，ここからは積分せずに\[S = -\left[ -\frac{1}{6}\{2 - (-1)\}^3 \right] = \frac{9}{2}\]と求めることができます．

もう一題，いきましょう．これは，私自身が高校時代の定期テストで出題されたものです．

例題２

\(\displaystyle \int_{1 - \sqrt{2}}^{1 + \sqrt{2}} (x^2 - 2x - 1)\,dx\)

解説

素直な私は，当然，一生懸命計算しました．しかし，尋常でない計算力をもった私が正解に辿り着く筈もなく，見事撃沈．

私に数学の力がもう少しついてから気付いたお話しです．仮に \(1 - \sqrt{2} = \alpha\)，\(1 + \sqrt{2} = \beta\) とおけば，この定積分の値は，\(\alpha\) と \(\beta\) の交代式になります．対称式と交代式については，次が成り立ちます．

対称式については，高校生の皆さん，よくご存じでしょう．交代式については，特に使うような場面がなく，聞いたことのない方が多いと思います．差積とは，\(\alpha\) と \(\beta\) ならば \(\alpha - \beta\) のこと，\(\gamma\) を加えた 3 文字ならば \((\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)(\alpha - \beta)\) のことです．

ですから，\(\alpha - \beta = -2 \sqrt{2}\)，\(\alpha + \beta = 2\)，\(\alpha \beta = -1\) を瞬時に頭に浮かべなければならなかったのです．解と係数の関係から気づいちゃいますよね．\(1 \pm \sqrt{2}\) が \(x^2 - 2x -1 = 0\) の解になっていますでしょ？　そうと分かれば積分をする必要がありません．お題の式を用いて\[\int_{1 - \sqrt{2}}^{1 + \sqrt{2}} (x^2 - 2x -1)\,dx = -\frac{1}{6} \cdot (2 \sqrt{2})^3 = -\frac{8\sqrt{2}}{3}\]勿論，このような定積分が問題として出されるということは，「この式を使え」と言っているようなものです．対称式や交代式を持ち出すまでもなく，気づきますよね．気づかなかった私は・・・f＾＾;