積分方程式

勿論，\(x\) の関数です．何次の関数か分かりますか？

このお題は，怖そうな顔つきをしていますねぇ．まるで私みたい(笑)．その怖そうな顔つきに騙されてはいけません．単なる１次関数です．定積分は値ですからね．\[\int_{0}^{2}f(x)\,dx = C\]とおきましょう．

解答

\[\int_{0}^{2} f(x) = C \tag{1}\]とおくと，\[f(x) = x + C \tag{2}\]となります．そこで，\((2)\) 式を \((1)\) 式に代入します．\[\int_{0}^{2} (x + C)\,dx = C \\[4px] \left[\frac{1}{2}x^2 + Cx\right]_{0}^{2} = C \\[4px] 2 + 2C = C\quad ∴\quad C = -2\]したがって，\[f(x) = x - 2\]です．ねっ！簡単でしょ！

このお題，ちょっと意地悪をしています．\[f(x) = x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt\]となっていることが多いのです．定積分では，積分変数に何を使っても同じですから．こちらの書き方の方が分かりやすいのですね．

それでは，お題の関数が \[f(x) = x^2 + \int_{0}^{1} xf(t)\,dt\]となったらどうでしょう？

定積分の積分変数が \(t\) なのに，\(\displaystyle \int_{0}^{1}xf(t)\,dt\) の中に \(x\) があるじゃん！　どすんの？

まず，この疑問を抱いた方，OK です．定積分の積分変数が \(t\) であることに気付いているということです．これが解くためのカギです．

\(x\) は，積分変数とは無関係です．つまり，定積分の中に限れば，単なる定数でしかないのです．ですから\[\int_{0}^{1}x f(t)\,dt = x \int_{0}^{1}f(t)\, dt\]となるのですね．そこで\[\int_{0}^{1}f(t)\,dt = C\]とおけば\[f(x) = x^2 + Cx\]となります．したがって\[\int_{0}^{1}\left(x^3 + Cx^2\right)\,dx = C \\[4px] \left[\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}Cx^3\right]_{0}^{1} = C \\[4px] \frac{1}{4} + \frac{1}{3}C = C \quad ∴ \quad C = \frac{3}{8}\]以上より，\(\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{3}{8}x\)

このような方程式を積分方程式といいます．積分方程式の中で最も基本的なものです．数学Ⅱの範囲では，この程度のことが分かっていれば OK でしょう．

積分限界に変数 \(x\) を含むようなものもありますが，数学Ⅱの中では，積分方程式とは違った形で出題されます．