積分範囲に変数を含む関数
本日のお題
次の関数 \(f(x)\) のグラフを描きましょう．\[f(x) = \int_{1}^{x}\left(t^2 - 4t + 3\right)\,dt\]
敢えてお題にするのですから，積分を計算して・・・となる筈はありませんね．しかしここは，騙されたつもりで積分の計算をしましょう．\[\begin{eqnarray*} f(x) & = & \int_{1}^{x}\left(t^2 - 4t + 3\right)\,dt \\[4px] & = & \left[\frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t \right]_{1}^{x} \\[4px] & = & \frac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3x - \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) \\[4px] & = & \frac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3x - \frac{4}{3} \end{eqnarray*}\]ですね．グラフを描くので導関数を求めます．\[\begin{eqnarray*} f'(x) & = & x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}\]おやおや～！ 気づきましたか？ これって，関数 \(f(x)\) の被積分関数の変数を \(x\) に換えたものです．無駄なことをした感が強いですねぇ．
そろそろ種明かしですね．今，\(G'(x) = g(x)\) である関数 \(g(x)\) と \(G(x)\) を考え，さらに\[f(x) = \int_{a}^{x} g(t)\,dt\] なる関数 \(f(x)\) を考えます．高等学校の数学では，不定積分を微分の逆演算としています．また，定積分を次のように定義します．\[f(x) = \Big[ G(t) \Big]_{a}^{x} = G(x) - G(a)\]そこで，\(f'(x)\) を求めると\[f'(x) = G'(x) = g(x)\]となります．つまり，お題の関数 \(f(x)\) のように，定積分で表されており，積分範囲の上端に変数 \(x\) がある場合には，\(f'(x)\) は定積分の被積分関数が変数を \(x\) に換えてそのまま出てくるのです．
\(\displaystyle f(x) = \int_{a}^{x}g(t)\,dt\ \Longrightarrow f'(x) = g(x)\)
解答
\(\hspace{3em}f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ \hline \end{array}\)
後は，極値ですね．ん～，積分せずに済んだ！と思いましたが，やっぱり積分の計算は必要ですね．ただし，この問いは積分の計算なしで済むように作ってありますよ（笑）．\[\begin{eqnarray*} f(1) & = & 0 \\[4px] f(4) & = & -\frac{1}{6}(3 - 1)^3 = -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}\]\(f(1)\) は，積分範囲の上端と下端が同じですから，計算するまでもなく \(0\) です．\(f(3)\) は \(\displaystyle -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \) を使います．増減表の極値を埋めましょう．
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -\frac{4}{3}& \nearrow \\ \hline \end{array}\)
増減表を基にグラフを描きます．
\(x\)
\(y\)