２曲線が接する条件
本日のお題
\(a\) を定数として，次の２つの関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) のグラフが接するように \(a\) の値を定めましょう．
\(\hspace{3em}f(x) = x^3 + 32,\quad g(x) = ax^2\)
２曲線が接するとは？
２曲線が交わり，その交点で共通の接線をもつことです．
\(x\)
\(y\)
一般に共通接線というだけでは，２曲線の別々な点で引いた接線が一致している場合も含めますので，交点で共通接線が引けるということになります．そうしますと，２つの関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) のグラフが接するための必要十分条件は\[\left\{\begin{eqnarray*} f'(x) & = & g'(x) \\[4px] f(x) & = & g(x) \end{eqnarray*}\right.\]をみたす \(x\) が存在することになります．
それでは 解答 です．
２つの関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) とが接するための必要十分条件は\[\begin{eqnarray} && 3x^2 = 2ax \\[4px] && x^3 + 32 = ax^2 \end{eqnarray}\]です．\((1)\) より\[x(3x - 2a) = 0\]\((2)\) より \(x \ne 0\) ですから，\(\displaystyle x = \frac{2}{3}a\) となります．\((2)\) に代入すると\[\frac{8}{27}a^3 + 32 = \frac{4}{9}a^3 \\[4px] \frac{4}{27}a^3 = 32 \\[4px] ∴\quad a^3 = 6^3\]\(a\) は実数ですから，\(a = 6\)
比較的簡単に求めることができます（計算が簡単になるように数値を調整しているんですけどね）．さらに，お題の \(a\) を求めることができると
例題
\(a\) を定数として，\(x\) の３次方程式 \(x^3 - ax^2 + 32 = 0\) の実数解の個数を求めよ．
という問題にも応用できるのですよ．どのように使うかは，考えてくださいね．