ベクトルの大きさ
本日のお題
２点 \(\mbox{P}\)，\(\mbox{Q}\) が原点を中心とする単位円周上を動いています．今，\(\vec{\mbox{OP}} = \vec{\mathstrut p}\)，\(\vec{\mbox{OQ}} = \vec{\mathstrut q}\) とするとき，ベクトル \(2\vec{\mathstrut p} + 3\vec{\mathstrut q}\) の大きさのとり得る値の範囲を求めましょう．
鉄則：大きさ長さは２乗して考えます．
根号のついた計算は嫌ですし，ベクトルの場合には \(\left|\, \vec{\mathstrut a} \,\right|^2 = \vec{\mathstrut a} \cdot \vec{\mathstrut a}\) が使えますから．\[\left|\, 2\vec{\mathstrut p} + 3\vec{\mathstrut q} \,\right|^2 = 4 \left|\, \vec{\mathstrut p} \,\right|^2 + 12 \vec{\mathstrut p} \cdot \vec{\mathstrut q} + 9 \left|\, \vec{\mathstrut q} \,\right|^2 \tag{1}\]２点 \(\mbox{P}\)，\(\mbox{Q}\) は原点を中心とする単位円周上を動いているので，\[\left|\, \vec{\mathstrut p} \,\right| = \left|\, \vec{\mathstrut q} \,\right| = 1\]が成り立ちます．これを \((1)\) に代入します．\[\left|\, 2\vec{\mathstrut p} + 3\vec{\mathstrut q} \,\right|^2 = 13 + 12 \vec{\mathstrut p} \cdot \vec{\mathstrut q}\]ところで，\[-\left|\, \vec{\mathstrut p} \,\right| \left|\, \vec{\mathstrut q} \,\right| \leqq \vec{\mathstrut p} \cdot \vec{\mathstrut q} \leqq \left|\, \vec{\mathstrut p} \,\right| \left|\, \vec{\mathstrut q} \,\right| \\[4px] ∴ \quad -1 \leqq \vec{\mathstrut p} \cdot \vec{\mathstrut q} \leqq 1\]ですから\[1 \leqq \left|\, 2\vec{\mathstrut p} + 3\vec{\mathstrut q} \,\right|^2 \leqq 25 \\[4px] ∴ \quad 1 \leqq \left|\, 2\vec{\mathstrut p} + 3\vec{\mathstrut q} \,\right| \leqq 5\]
\(\displaystyle \left|\, 2\vec{\mathstrut p} + 3\vec{\mathstrut q} \,\right| = 1\) が成り立つのは，\(\vec{\mathstrut p}\) と \(\vec{\mathstrut q}\) が逆向きのとき
\(\displaystyle \left|\, 2\vec{\mathstrut p} + 3\vec{\mathstrut q} \,\right| = 5\) が成り立つのは，\(\vec{\mathstrut p}\) と \(\vec{\mathstrut q}\) が同じ向きのとき
等号が成立する場合の確認を忘れないようにしましょう．
まぁ，図がしっかりイメージできていれば当たり前だのクラッカーでしたね．
話しがこれで終われば簡単なのですが，続きがあります．この手の問題に限らず，入試の問題は，変装をしてきます．学習指導要領の範囲を逸脱できません．ですから，手を変え品を変えて，見た目を誤魔化すのです．変装を見破ることのできない人は，問題ごとに膨大な数の解法を身に付けなければなりません．変装を見破ることのできる人は，重要な事項さえ覚えておけば応用ができます．ですから，入試対策で重要なことは，多くの解法を身に付けることではなく，基本的な考え方を確実に身に付けることです．
\(\displaystyle \left|\, 2\vec{\mathstrut p} + \vec{\mathstrut q} \,\right| = \left|\, \vec{\mathstrut p} + 2\vec{\mathstrut q} \,\right| = 1\) のとき，\(\left|\, 3\vec{\mathstrut p} + 4\vec{\mathstrut q} \,\right|\) のとる得る値の範囲を求めましょう
問題がこのように変わったら，どうしますか？ 上のお題と同じ問いに見えますか？
\(\vec{\mathstrut x} = 2\vec{\mathstrut p} + \vec{\mathstrut q}\)，\(\vec{\mathstrut y} = \vec{\mathstrut p} + 2\vec{\mathstrut q}\) とおくだけで OK です．\(\vec{\mathstrut p}\) と \(\vec{\mathstrut q}\) について解けば\[\vec{\mathstrut p} = \frac{2}{3}\vec{\mathstrut x} - \frac{1}{3}\vec{\mathstrut y}\ ,\quad \vec{\mathstrut q} = -\frac{1}{3}\vec{\mathstrut x} + \frac{2}{3}\vec{\mathstrut y}\]であり\[3\vec{\mathstrut p} + 4\vec{\mathstrut q} = \frac{2}{3}\vec{\mathstrut x} + \frac{5}{3}\vec{\mathstrut y}\]となります．したがって
\(\displaystyle \left|\, \vec{\mathstrut x} \,\right| = \left|\, \vec{\mathstrut y} \,\right| = 1\) のとき \(\displaystyle \left|\, \frac{2}{3}\vec{\mathstrut x} + \frac{5}{3}\vec{\mathstrut y}\,\right|\) のとり得る値の範囲を求めましょう．
と同じになってしまうのです．
ただし・・・ただしでしすよぉ・・・，置き換えをしたときには，この場合で言えば，置き換えたベクトルが平行になることがあるかどうか？ そこの確認をしておく必要があります．これは，勿論，平行になり得ますからお題と同様の解答になります．
鉄則：置き換えをしたら，まず，書き換えた変数がとり得る値を確認します．