法線ベクトル

法線ベクトル

点 \(\mbox{A}\left( x_0, \ y_0 \right)\) を通って，ベクトル \(\vec{\mathstrut n} = \left( a, \ b \right)\) に垂直な直線の方程式を考えましょう．下図のように \(\mbox{P}\left( x, \ y \right)\) をとります．

すると，点 \(\mbox{P}\) が直線上にあるための必要十分条件は「点 \(\mbox{P}\) が点 \(\mbox{A}\) に一致する．または\(\vec{\mbox{AP}}\) が \(\vec{\mathstrut n}\) に垂直である．」です．まとめると\[\vec{\mathstrut n} \cdot \vec{\mbox{AP}} = 0 \tag{1}\]と同値です．\(\vec{\mathstrut n} = \left( a, \ b \right)\) と \(\vec{\mbox{AP}} = \left( x - x_0,\ y - y_0 \right)\) を \((1)\) に代入すると

が現われました．逆に見れば，直線 \(ax + by + c = 0\) はベクトル \(\vec{\mathstrut n} = \left( a,\ b \right)\) に垂直であるとなります．直線や平面に垂直なベクトルを直線又は平面の 法線ベクトル といいます．

この議論は，空間の平面についても同様に成り立ちますから，点 \(\mbox{A}\left( x_0,\ y_0, z_0 \right)\) を通る，法線ベクトル \(\vec{\mathstrut n} = \left( a,\ b,\ c \right)\) である平面の方程式は

となります．

平面の直線に対しても，空間の平面に対しても，法線ベクトルは無限に存在します．向きは決まっていませんし，長さも決まっていません．その点は注意しましょう．

お題１の解答

２直線\[2x - y = 1,\quad x + 3y = 1\]は，それぞれ \(\vec{\mathstrut n_1} = \left( 2,-1 \right)\) と \(\vec{\mathstrut n_2} = \left( 1,\ 3 \right)\) に垂直です．したがって，２直線のなす角と \(\vec{\mathstrut n_1}\) と \(\vec{\mathstrut n_2}\) のなす角は一致します．一つ注意していただきたいのは，２直線のなす角は，通常 \(0^{\circ}\) から \(90^{\circ}\) までの角で答えますから，２ベクトルのなす角が \(90^{\circ}\) を超えた場合は \(180^{\circ} - \theta\) で答えることとします（勿論，\(90^{\circ}\) から \(180^{\circ}\) の角を答えても，間違えとは言えません）．「一致する」と書いたのは，その意味も含めています．そこで，\(\vec{\mathstrut n_1}\) と \(\vec{\mathstrut n_2}\) のなす角を \(\theta\) とすると\[\vec{\mathstrut n_1} \cdot \vec{\mathstrut n_2} = \left| \vec{\mathstrut n_1} \right| \left| \vec{\mathstrut n_2} \right|\,\cos\theta　\\[4px] \cos\theta = \frac{2\cdot 1 - 1\cdot 3}{\sqrt{4 + 1}\sqrt{1 + 9}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\[4px] ∴ \quad \theta = 135^{\circ}\]よって，２直線のなす角は \(45^{\circ}\) です．

お題２の解答

まず，２つのベクトル \(\vec{\mathstrut n_1} = (1, -1,\ 1)\) と \(\vec{\mathstrut n_2} = (1,\ 3,\ 2)\) は，それぞれ平面 \(x - y + z = 1\)，\(x + 3y + 2z = 2\) に垂直です．\[\vec{\mathstrut n_1}\cdot\vec{\mathstrut n_2} = 1 - 3 + 2 = 0\]となり，\(\vec{\mathstrut n_1} \perp \vec{\mathstrut n_2}\) が成り立ちます．したがって，２平面 \(x - y + z = 1\) と \(x + 3y + 2z = 1\) が垂直であると示されました．

続いて，\(\vec{\mathstrut n} = (a,\ ,\ b,\ c)\) として，\[\vec{\mathstrut n_1} \cdot \vec{\mathstrut n} = a - b + c = 0 \\ \vec{\mathstrut n_2} \cdot \vec{\mathstrut n} = a + 3b + 2c = 0\]が成り立っているとします．すると\[\frac{a}{5} = b = -\frac{c}{4}\]となるので，ベクトル \((5,\ 1,-4)\) は，２つのベクトル \(\vec{\mathstrut n_1}\) と \(\vec{\mathstrut n_2}\) 垂直です．よって，題意の平面の方程式は\[5(x - 1) + (y - 1) - 4(z - 1) = 0　\\[4px] ∴\quad 5x + y - 4z = 2\]となります．