2020/07/13 連立微分方程式の解法
本日のお題
連立微分方程式 \(\left\{ \begin{array}{lcc} \dot{x} = 4x - y & \cdots & ① \\ \dot{y} = 9x - 2y - 2\sin t & \cdots & ② \end{array}\right.\) の解き方を教えてください
はい，承知しました
質問者の方は，微分演算子を用いて \((D - 1)^2\,[\,x\,] = 2 \sin t\) までは導くことができたということです
ということは，連立微分方程式の解き方というよりは，逆演算子を用いて特殊解を求める方法と言った方が宜しいようです
\((D - 1)^2\,[\,x\,] = 2 \sin t\) から，この微分方程式の基本解は \(e^t\) と \(t\,e^t\) ですから，特殊解 \(v(t)\) を求めれば，\(x\) に関しての一般解は \(x = C_1\,e^t + C_2\, t\,e^t + v(t)\) となります
微分逆演算子を用いて特殊解を求める際に，\(\sin t\) と \(\cos t\) は，オイラーの公式 \(e^{it} = \cos t + i\,\sin t\) を用いて
\(\hspace{3em} \sin t = Im[e^{it}] \ ,\quad \cos t = Re[e^{it}]\)
と考えます
つまり，\(x\) に関する特殊解は，次のように求めます
\(\hspace{3em} x \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{(D - 1)^2}\,[2\,\sin t] \\ \displaystyle = 2 \cdot Im \left[\frac{1}{(D - 1)^2}\left[e^{ix}\right]\right] \\ \displaystyle = 2 \cdot Im \left[\frac{1}{(i - 1)^2}\,e^{it}\right] \\ \displaystyle = 2\cdot Im \left[\frac{1}{-2i} \, e^{it}\right] \\ \displaystyle = 2\cdot Im\left[\frac{i}{2}\,(\cos t + i\,\sin t)\right] \\ \displaystyle = Im \Big[-\sin t + i\,\cos t\Big] \\ = \cos t \end{array}\)
したがって \(x = C_1\,e^t + C_2\,t\,e^t + \cos t\)
これを①から \(y = 4x - \dot{x}\) に代入すると \(y = (3C_1 - C_2)\,e^t + 3C_2\,t\,e^t + 4\cos t + \sin t\)