2020/07/13 べき級数展開を用いた微分方程式の解法

本日のお題

微分方程式 \((x + 2)\,y' = xy \quad \cdots \quad ① \hspace{2em} y(1) = 1 \quad \cdots \quad ②\) の解を, \(x = 1\) を中心とするべき級数展開を用いて \((x - 1)^3\) の項まで求める方法を教えてください

はい,承知しました

解がべき級数を用いて \(\displaystyle y = \sum_{k = 0}^{\infty}A_k\,(x - 1)^k\) と表されるとします

すると,\(\displaystyle y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \sum_{k = 0}^{\infty} A_k\,k\,(x - 1)^{k - 1} \\[2px] \displaystyle = \sum_{k = 1}^{\infty} A_k\,k\,(x - 1)^{k - 1} \\[2px] \displaystyle = \sum_{k = 0}^{\infty} A_{k + 1}(k + 1)(x - 1)^k \end{array}\)

したがって

\(\hspace{2em} \begin{array}{l} (x + 2)\,y' - x\,y \\ \displaystyle = \sum_{k = 0}^{\infty} \left\{A_{k + 1}(k + 1)(x + 2)(x -1)^k - A_k\,x\,(x - 1)^k\right\} \\ \displaystyle = \sum_{k = 0}^{\infty} \left[A_{k + 1}(k + 1)\{(x - 1) + 3\}(x -1)^k - A_k\,\{(x - 1) + 1\}(x - 1)^k\right] \\ \displaystyle = \sum_{k = 0}^{\infty} \left[\left\{A_{k + 1}(k + 1) - A_k\right\}(x - 1)^{k + 1} + \left\{3A_{k + 1} - A_k\right\}(x - 1)^k\right] \\ = (A_1 - A_0)(x - 1) + (3A_1 - A_0) \\ \qquad + (2A_2 - A_1)(x - 1)^2 + (6A_2 - A_1)(x - 1) \\ \qquad + (3A_3 - A_2)(x - 1)^3 + (9A_3 - A_2)(x - 1)^2 + \cdots \\ = (3A_1 - A_0) + (6A_2 - A)(x -1) + (9A_3 + A_2 - A_1)(x - 1)^2 + \cdots \end{array}\)

これより \(3A_1 - A_0 = 6A_2 -A_0 = 9A_3 + A_2 - A_1 = 0\)

さらに ②から \(A_0 = 1\) となって,これを解くと \(\displaystyle A_1 =\frac{1}{3}\),\(\displaystyle A_2 = \frac{1}{6}\),\(\displaystyle A_3 = \frac{1}{54}\) を得ます

以上から \(\displaystyle y = 1 + \frac{1}{3}\,(x -1) + \frac{1}{6}\,(x - 1)^2 + \frac{1}{54}\,(x - 1)^3\) となります

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:37 PM